Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.1k kez görüntülendi

Boş kümenin sup ve infi nedir ?


sup için $-\infty$      inf için. $ \infty$   tanımlamak mantıklı olmaz mı?

Lisans Matematik kategorisinde (7.8k puan) tarafından  | 1.1k kez görüntülendi

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

$$(\mathbb{R},\leq )$$ posetinde boş kümenin infimumunu ve supremumunu araştıralım.

$$\sup\emptyset =\min \emptyset^ü=\min \{y|x\in \emptyset\Rightarrow x\leq y\}=\min\mathbb{R}:yok$$

$$\inf\emptyset =\min \emptyset^a=\max \{y|x\in \emptyset\Rightarrow y\leq x\}=\max\mathbb{R}:yok$$

Not: Genişletilmiş $\mathbb{R}$'de çalışıyorsan (sıralama ile ilgili bazı varsayımları da birlikte düşünürsek) 

$$\sup\emptyset =\min \emptyset^ü=\min \{y|x\in \emptyset\Rightarrow x\leq y\}=\min\overline{\mathbb{R}}=-\infty$$

$$\inf\emptyset =\min \emptyset^a=\max \{y|x\in \emptyset\Rightarrow y\leq x\}=\max\overline{\mathbb{R}}=\infty$$ olacaktır.

(11.4k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş

Yanlış hatırlamıyorsam George Simmons'un Introduction to Topology and Modern Analysis kitabında da boş kümenin supremumu $-\infty$ olarak ele alınıyor.

genişletilmiş $R$   ve   max min tanımlarken yaptıgınız $\emptyset^{û}$  ne demek tam olarak?

İlginiz için teşekkürler.

Boş kümenin üst sınırlarının oluşturduğu kümeyi $$\emptyset^ü$$ ve boş kümenin alt sınırlarının oluşturduğu kümeyi $$\emptyset^a$$ ile gösterdim.

Boşküme supremuma sahip değildir (Ghorpade-Limaye, A couse in Calculus and Real Analysis, s.5).

20,200 soru
21,727 cevap
73,275 yorum
1,887,841 kullanıcı