Bu bağlantıda verilen tanıma göre,
$F$ bir cisim olmak üzere, $F[x]$ in sıfırdan ve aritmetik birimlerden farklı bir $p(x)$ polinomunun , $p = a(x)b(x)$ ; $a(x),b(x)\in F[x]$ gibi her yazılışında, $a(x)$ ve $b(x)$ den en az biri bir aritmetik birim (yani, $\deg(a(x))$ ve $\deg(b(x))$ den en az biri $0$ , yada başka bir değişle, $a(x)$ ve $b(x)$ den en az biri $F^*$ ın bir elemanı) ise, $p(x)$ e bir asal (indirgenemez) polinom denir. (Yani indirgenemez polinom ve asal polinom aynı anlamda kullanılmıştır.) Bu tanıma göre, $4x^2 + 2$ indirgenemez polinomdur, eş anlamlı olarak asal polinomdur.
Bir kitapta şöyle bir tanım okuduğumu hatırlıyorum: $F$ bir cisim olmak üzere, $F[x]$ de başkatsayısı $1_F$ (birim eleman) olan indirgenemez polinoma asal polinom denir. Bu tanıma göre, $4x^2 + 2 \in \mathbb R [x]$ indirgenemez polinom olduğu halde asal polinom değildir. Yine bu tanıma göre, $x^2 + 2 \in \mathbb R [x]$ baş katsayısı $1$ ve indirgenemez olduğu için asal polinomdur. Bu türdeki tanıma bir kaynak olarak burada sayfa 62'ye bakılabilir.
Ayrıca wikipedia sitesinde indirgenemez polinom (irreducible polynomial) isimli bir başlık var ama asal polinom (prime polynomial) diye bir başlık yok. Şöyle diyor: $F$ bir cisim olmak üzere, katsayıları $F$'ye ait olan ve sabit olmayan bir polinom, $F$'de katsayıları olan sabit olmayan iki polinomun çarpımı şeklinde yazılamıyorsa bu polinoma $F$ üzerinde indirgenemez polinom denir. Ayrıca polinomun halkası, bir cisim veya tek türlü çarpanlara ayrılabilir bölge (unique factorization domain) ise indirgenemez polinoma asal polinom da denir. Bu tanıma göre, indirgenemez polinom ile asal polinomum tamamen aynı şey olduğu cebirsel yapılar olduğu gibi bunların arasında ayrım gözetilen cebirsel yapılar da var, şeklinde anlıyorum. Ama o ayrım gözetilen cebirsel yapılar nelerdir? İndirgenemez polinom olup, asal polinom olmayan örnekler veya indirgenemez polinom olmayıp, asal polinom olan örnekler (varsa) nelerdir? Bunları bilmiyorum, wikipedia yazarı da asal polinom tanımını açıkça vermemiş. Muhtemelen kastedilen şey şudur: Eğer polinomumuz katsayılarını, bir cisim veya tek türlü çarpanlara ayrılabilir bölgeden alıyor ise bu durumda indirgenemez polinoma asal polinom ismini verebiliriz. Çünkü, bu polinom bir asal ideal üretiyor diye belirtilmiş. O zaman wikipedia yazarı, polinomun başkatsayısının $1$ olması ile ilgilenmiyor gibi. Fakat örnekler verirken hep başkatsayısı $1$ olan örnekler yazmış:
\begin{align}
p_5(x) &= x^2 - 2\, = \left(x - \sqrt{2}\right)\left(x + \sqrt{2}\right)\\
p_6(x) &= x^2 + 1\, = {(x - i)(x + i)}
\end{align}
Burada $p_5$, $\mathbb Z[x]$ halkasında indirgenemez iken $\mathbb R[x]$ de indirgenebilirdir ve $p_6$, $\mathbb R[x]$ halkasında indirgenemez iken $\mathbb C[x]$ de indirgenebilirdir.
Asal polinomun tanımı ile ilgili matematikçiler arasında bir anlaşmazlık var gibi görünüyor. Konu hakkında kitap okumuş, bilgi sahibi olan arkadaşlarımız bilgilerini paylaşırsa sevinirim.