ilk olarak ψ fonksiyonunu tanimlayalim (p asal, m pozitif tamsayi): ψ(x)=∑pm≤xlogp. Aslinda bu fonksiyon ([x] tak deger fonksiyonu "asagiya yuvarlayan" olmak uzere) ψ(x)=∑p≤x[logxlogp]logp. π(x) fonksiyonu da x'den kucuk asal sayilarin sayisi olsun.
Theorem: Eger x→∞ iken ψ(x)∼x ise π(x)∼logxx
ispat: ilk olarak ψ(x)=∑p≤x[logxlogp]logp≤∑p≤xlogxlogplogp≤π(x)logx oldugundan ψ(x)x≤π(x)logxx gelir. Burdan da limx→∞ψ(x)x=1 oldugundan ilk gozlemimiz 1≤limx→∞infπ(x)logxx. Simdi 0<α<1 olacak sekilde bir α secelim (sabitleyelim). O zaman ψ(x)≥∑p≤xlogp≥∑xα≤p≤xlogp≥(π(x)−π(xα))logxα. Yani ψ(x)x≥αlogx(π(x)−π(xα))x=αlogx(π(x)−xα)x=απ(x)logxx−αlogxx1−α yani 1≥αlimx→∞supπ(x)logxx. O halde π(x)∼logxx.