Doğal sayılarla ilgili bir soru - Matematik Kafası

Doğal sayılarla ilgili bir soru

1 beğenilme 0 beğenilmeme
106 kez görüntülendi

$n\geq 0$ bir doğal sayı olmak üzere;herbirinin doğruluğunu ya da yanlışlığını gösteriniz.

1) Toplamları $3.n$ şeklinde olan sayıların çarpımının en büyük değeri $3^n$ dir.

2)Toplamları $3.n+1$  şeklinde olan sayıların çarpımlarının en büyük değeri $4.3^{n-1}$ dir.

3) Toplamları $3.n+2$ şeklinde olan sayıların çarpımının en büyük değeri $2.3^n$ dir.

Bunlara göre, toplamları $101$ olan sayıların çarpımının en büyük değerini bulunuz.

13, Ağustos, 2016 Serbest kategorisinde Mehmet Toktaş (18,486 puan) tarafından  soruldu

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

En büyük çarpanı aradığımızdan toplanan sayılar arasında $ 4$  olamaz. Misal $ 5 = 4+1$  yazmak yerine $ 5=3+2$  yazarsak $ 3.2 = 6$  çarpımı $ 4.1=4$  çarpımından daha büyük olacaktır.

En genel halde $ 4$  den büyük bir $ n$  sayısı için $ 3(n-3)$  çarpımı daha büyüktür.

Toplamlar arasında $ 1$  sayısı kesinlikle olamaz. Çünkü çarpımın sonucu değişmez.

$ 4$  sayısı yerine $ 2+2$  kullanmak çarpımın sonucunu daha da arttırır.

Sonuç olarak toplamları sabit olan sayıların çarpımının en büyük olması için toplam $ 3$  ve $ 2$  sayılarından oluşmalı. Fakat $ 2$  ve $ 3$  sayılarını ne sıklıkta kullanacağız ?

$ 2$  den fazla $ 2$  kullanmak yerine ,$ 3$  kullanmak bizi daha büyük bir sayıya ulaştırır. Örneğin $ 6$  sayısı için $ 6=2+2+2$  yazmak yerine $ 6 = 3+3$  yazmak bizi daha büyük bir çarpıma ulaştırır.

$ 101 = 3.33+2$  olduğundan $ 101 = 3+3+3+3......+3+2$  şeklinde yazılıp, çarpımın sonucu $ 3^{33}.2 $ olacaktır. O halde genellemeleri yapalım.

 Toplamları  $3n $ olan sayıların çarpımı en fazla  $3n = 3+3+3+...+3 $ olup  $3^n $ olur.

 Toplamları  $3n+1 $ olan sayıların çarpımı en fazla kaç olur ?

 $3n+1 = 3+3+3....+3+1 $ şeklinde yazarsak  $ $ olur. Ancak $ 3+1=4=2+2$  yazarsak

$ 3n+1 =  3+3+....+2+2  = 3^{n-1}.4 $  olur ki $ 3^{n-1}.4 > 3^{n-1}.3$

$3n+2 = 3+3+3+3+.....+3+2 = 3^n.2$ olacaktır.

9, Nisan, 2017 Dogukan633 (837 puan) tarafından  cevaplandı
...