Rasyonel sayıların $OKEK'$i ve $OBEB'$i

Question

$1\leq i\leq n,$ her $a_i,b_i\neq 0, a_i,b_i\in \mathbb Z$  olsunlar. Acaba 

1)$OKEK(\frac{a_1}{b_1},\frac{a_2}{b_2},\frac{a_3}{b_3},...,\frac{a_n}{b_n})=\frac{OKEK(a_1,a_2,a_3,...,a_n)}{OBEB(b_1,b_2,b_3,...,b_n)}$ 

2)$OBEB(\frac{a_1}{b_1},\frac{a_2}{b_2},\frac{a_3}{b_3},...,\frac{a_n}{b_n})=\frac{OBEB(a_1,a_2,a_3,...,a_n)}{OKEK(b_1,b_2,b_3,...,b_n)}$ eşitlikleri daima doğru mudur? Doğrulukları ispatlanabilir mi? 

Comments

$\dfrac{a_i}{b_i}$    tam sayı olmaz ıse ebob ve ekok tanımlı olmazki, obeb ve okek tanımları 0dan farklı tam sayılar için geçerlidir,
 
bkz.https://tr.wikipedia.org/wiki/Ortak_kat

---

Evet Wikipedia'da sadece tam sayıları için OKEK,OBEB kavramlarının geçerli olduğu belirtilmiş ama bence bu husus geliştirilebilir. Sonuçta söz konusu olan sayıların,ya tam katı yada tam böleni olan bir sayı arıyoruz. Örneğin, $OKEK(\frac 12,\frac 13)=1$ dir.Ya da $OBEB(\frac 52,\frac 34,\frac{15}{2})=\frac 14$ dir. 

Answer 1

Cevabin Birinci Kismi:

Buradaki OBEB ve EKOK kavramlari ile ne kastedilmek isteniyor. Bu kisim onemli. Ben asagida sadece EBOB kavrami uzerinde duracagim. Zaten EKOK da ayni iliski ile elde ediliyor. 

$a$ ve $b$ ayni anda sifir olmayan tam sayilar olsun. $$T=\{as+bt  \in \mathbb Z^+ \; | \; s,t  \in \mathbb Z\}$$ olsun. 

1) Bu kume bos degil.
2) Pozitif tam sayilarin bos olmayan her alt kumesi bir en kucuk eleman icerir. 
3) Bu elemana $d$ diyelim ve $$d= (a,b)$$ ile simgeleyelim. 

Gordugunuz uzere biricik bir $d$ tanimladik. Bu $d$ aslinda bizim $$\text{EBOB}(a,b)$$ dedigimize denk geliyor.

Rasyonel Sayilari kendi icerisinde gorursek bu tanim oturmaz. Neden? 

$a$ ve $b$ ayni anda sifir olmayan rasyonel sayilar olsun.  $$T=\{as+bt  \in \mathbb Q^+ \; | \; s,t  \in \mathbb Q\}$$ olsun. 

1) Bu kume bos degil. (Evet)
2) Pozitif rasyonel sayilarin bos olmayan her alt kumesi bir en kucuk eleman icerir.  (Hayir)

Hatta bu $T$ kumesi tum pozitif rasyonel sayilari icerir. 

Fakat tam bolmeyi sadece tam kati olarak dusunursek yine bir EBOB kavrami olusturabiliriz. 

$$T=\{as+bt  \in \mathbb Q^+ \; | \; s,t  \in \mathbb Z\}$$ olsun. Paydalarin EKOK'u ile (Buna $e$ diyelim) $T$ kumesinin elemanlarini carparsak $$\emptyset \ne eT \subseteq \mathbb Z^+$$ saglanir. 
 
1) $eT$ kumesi bos degil.
2) Pozitif tam sayilarin bos olmayan her alt kumesi bir en kucuk eleman icerir. 
3) Bu elemana $d$ diyelim ve $$\frac{d}{e}= (a,b)$$ ile simgeleyelim. 

$d$ ve $e$ biricik oldugundan $d/e$ de biricik olur. Peki bu $d/e$ elemani gercekten de $T$ kumesinin en kucuk elemani mi?

2. cikarim geregi evet. Cunku $d$ pozitif tam sayisi $eT$ kumesinin en kucuk elemani. $eT$ kumesindeki her elemani pozitif olan $e$ degerine bolersek esitsizlikler aynen saglanacagindan $d/e$ de $(1/e)\cdot (eT)=T$ kumesinin en kucuk elemani olur.

Bu cevapta bu baglamda
- bir EBOB tanimlayabilecegimizi
- bu EBOB degerinin var oldugunu
- bu EBOB degerinin biricik oldugunu
gostermis olduk.

Answer 2

Cevabin ikinci kismi: 

EBOB kavramini yukarida inceledik. (EKOK kavramini da asagida deginecegiz). 

Bir Not: Ornegin $p$ ve $q$ tam sayilar olmak uzere bir   $$\frac{p}{q}$$ rasyonel sayimiz varsa biz burada $(p,q)=1$ oldugunu ya da diger bir degisle $p$ ve $q$ tam sayilarinin aralarinda asal oldugunu dusunebiliriz ve bu sekilde EBOB ve EKOK degerlerimizde bir degisme olmaz. Zaten olsaydi tanimlamamiz pek de iyi bir tanimlama olmazdi.

Bu nedenle ispatlarimizi yaparken kesirli sayilarimizi tam sayilarin bolumu olarak yazip bu tam sayilari aralarinda asal kabul edecegiz. 

EKOK tanimini su sekilde verecegiz. $a,b,c,d$ tam sayilar olmak uzere $a$ ve $c$ ayni anda sifir olmamak ve $b$ ve $d$ sifir olmamak uzere $$\left[\frac{a}{b},\frac{c}{d}\right]$$ ile EKOK'u simgeleyip bu degere biricik olan $$\left\{\frac{a}{b}n \in\mathbb Z^+ \; | \; n\in \mathbb Z\right\} \bigcap \left\{\frac{c}{d}n \in\mathbb Z^+ \; | \; n\in \mathbb Z\right\}$$ kumesinin en kucuk elemanini atayacagiz. 

Ornegin; $$\left[\frac{2}{5},\frac{3}{10}\right]=\frac65$$ olur. Neden? Kumeleri inceleyelim: $$\left\{\frac{2}{5}n \in\mathbb Z^+ \; | \; n\in \mathbb Z\right\}=\left\{\frac25,\frac45,\frac65,\cdots\right\}$$ ve $$\left\{\frac{3}{10}n \in\mathbb Z^+ \; | \; n\in \mathbb Z\right\}=\left\{\frac{3}{10},\frac{3}{5},\frac{9}{10},\frac{6}{5},\frac{3}{2},\frac{9}{5},\cdots\right\}$$ oldugundan isteneni elde ederiz. 

Answer 3

Cevabin ucuncu kismi: iki rasyonel sayi icin EKOK bulma...

Sav: $a$ ve $c$ ayni anda sifir olmayan, $c$ ve $d$ de sifir olmayan tam sayilar olmak uzere $(a,b)=(c,d)=1$ olsun. $$\left[\frac ab,\frac cd\right]=\frac{[a,c]}{(b,d)}$$ saglanir. 

Ispat: ilk olarak $[ad,bc]$ degerine bakalim. Elimizde $$ad\cdot bc=[ad,bc]\cdot (ad,bc)$$ oldugundan $(ad,bc)$ degerini inceleyelim. $$(ad,bd)=(b,d)\left(a\frac{d}{(b,d)},c\frac{b}{(b,d)}\right)$$ olur. Ikinci EBOB'da ilk ifade ile $b/(b,d)$ aralarinda asal oldugundan $$=(b,d)\left(a\frac{d}{(b,d)},c\right)$$ olur. $(c, d/(b,d))=1$ oldugundan $$=(b,d)(a,c)$$ olur. Bu da bize $$[ad,bc]=\frac{ac\cdot bd}{(a,c)(b,d)}=[a,c]\cdot [b,d]$$ oldugunu verir. Dolayisiyla $$\left[\frac ab,\frac cd\right]=\frac{1}{|bd|}[ad,bc]=\frac{1}{[b,d](b,d)}\cdot[a,c][b,d]=\frac{[a,c]}{(b,d)}$$ olur.

** Ilk esitligin saglanmasinin sebebi ilk kisimda EBOB'taki biriciklik soylemimizle ayni yerden geliyor. Tam sayilarda EKOK biricik, pozitif bir tam sayiya ile boldugumuzde de en kucukluk devam eder. 

*** Artik genel halini TUMEVARIM ile ispatlayabiliriz. 

Comments

Hocam emeğinize ve elinize sağlık. Çok teşekkür ederim.