Rasyonel sayıların dizilimine gore değişen bir fonksiyon.

Question

$(q_n)_{n\in \mathbb{N}}$ kesirli sayıların bir sıralaması olsun.

$f(x) = \begin{cases}0 &\text{ eğer  } x\leq 0 \text{ ise}\\ 1&\text{ eğer } x>0 \text{ ise,}\end{cases}$ biçiminde tanımlanmış bir fonksiyon.

$$F(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} f(x - q_n)$$ fonksiyonu artan bir fonksiyondur, ve mecburen rasyonel sayılarda ziplamalar yapar. İrrasyonel sayılarda ise süreklidir.

Rasyonel sayıların dizilimini değiştirerek, bazı irrasyonel sayılarda $F(x)$'in türevlenebilir olmasını sağlayabiliriz.

$F$ fonksiyonunun tüm irrasyonel sayılarda türevlenebilir olması sağlanabilir mi?

Comments

Müsadenizle sorunuza yorum olarak küçük bir "ek soru" yazacağım. $F^{-1}$ bağıntısının grafiğini alalım ve her $q_n$ için $(F(q_n),q_n)$ noktasını $(F(q_n)+1/{2^n},q_n)$ noktası ile birleştiren doğru parçasını ekleyelim. Oluşan grafik $G$, $(0,1)$'den $\mathbb{R}$'ye azalmayan, örten, sürekli ve hemen her yerde türevi 0 olan bir fonksiyonun grafiği midir? $G$ sanki Cantor fonksiyonunu andıran bir şeye benzedi.

---

Evet oyledir. G ilginc bir fonksiyonun grafigi ama olmayacak sey degil.

Suphe uyandiran bir durum goremiyorum.

---

Aslinda rasyonel sayi dizilimini hep $\sqrt{2}$ etrafinda yogunlasacak sekilde secersek,

$F$'nin tek bir nokta haric hicbir noktada turevlenebilir olmamasini saglayabiliriz.

Bu da yukaridaki G grafigi tarafindan verilecek fonksiyonun bir nokta haric tum noktalarda turevinin sifir olmasina sebep olur.