Polinom halkası üzerine grup etkisi tanımı

Question

 $G$ sonlu bir grup, $\rho: G \rightarrow GL(n,\mathbb{F})$ grubun bir temsili ve $V=\mathbb{F}^n$ vektor uzayı olsun. $\mathbb{F}[V]=\mathbb{F}[x_1,\dots,x_n]$, $n$ bilinmeyenli katsayıları $\mathbb{F}$'den polinomlar halkası tanımını yapalım.

Bu grubun herhangi bir $g$ elemanı için $g$'nin herhangi bir $f(v) \in \mathbb{F}[V]$ elemanına etkisi - bu arada bir eleman bir elemana etki eder diyebiliriz değil mi? - şöyle tanımlanıyor:

$gf(v)=f(\rho^{-1}(g)v)$, $\forall v \in V$. 

Buradaki $\rho^{-1}(g)$ bildiğim kadarıyla $g$ elemanının temsilinin ters transpozu. Sorum şu; yukarıdaki tanım bizim etkimizin sol etki olmasından dolayı mı böyle tanımlanıyor, neden ters & transpoz almak zorundayız?Başka türlü tanımlanamaz mıydı?

Comments

Grup etkisi "$G\times \mathbb{F} [V] \rightarrow \mathbb{F} [V]$" şeklinde tanımlı değil mi. Sol etki ile kastedilen nedir? Sanki sağ etki diye bişey olabilir gibi anladım ben.

---

Sol etki olarak kast ettiğim şey sizin yazdığınız $G \times \mathbb{F}[V] \rightarrow \mathbb{F}[V]$. Sormak istediğim şey $gf(v)=f(\rho^{-1}(g)v)$ tanımının neden böyle tanımlandığı, grup sağdan etkirse yapmamız gereken değişiklikler,.. gibi.

Answer 1

Öncelikle:

$\rho^{-1}(g)$ değil de $\rho(g^{-1})=(\rho(g))^{-1}$ olmalı. (Bence oradaki $g^{-1}$ bildiğimiz ters eleman. Ters eleman yerine transpoz olsa da olur. Ama hem ters hem de transpoz olmaz. Önemli olan, çarpıma uygulandığında bir yer değiştirmeye yol açması: yani bir anti- homomorfizma olması)

Burada $G$ nin sonlu olmasının ve $f$ nin polinom olmasının hiç bir önemi yok.

Dikkatli bir şekilde hesaplarsanız (sol etki tanımdaki koşullardan biri olan):

$(gh)f=g(hf)$ eşitliğinin sağlandığını göreceksiniz. 

Ama $(gf)(v)=f(\rho(g)v)$ olarak tanımlanırsa ($G$ nin değişmeli olmadığı durumda) $(gh)f=g(hf)$ eşitliğini gösteremezsiniz.

(sağ etki olacağı gösterilebilir)