Daha onceden ikili formlar/quadratic forms hakkinda bir soru sormusum. Tanimi su sekilde:
$Q:\mathbb{F}_{q^n} \rightarrow \mathbb{F}_q$ ikinci dereceden bir form olsun. Su ozellikleri var:
1) $Q(ax)=a^2Q(x)$, her $a \in \mathbb{F}_q$ ve her $x \in \mathbb{F}_{q^n}$ icin
2) $B(x,y)=Q(x+y)-Q(x)-Q(y)$ simplektik ikili lineer form (symplectic bilinear form)
Oradaki sorum,
linkteki tanimlara bakarsaniz, su sekilde idi:
Eger $W_0 \neq W$ ise $|Q(x)=0|=q^{n-1}$ ve
Eger $W_0=W$ ise $|Q(x)=0|=q^{n-1} \pm (q-1)q^{\frac{n+w-2}{2}}$ ($w$=dim$_{\mathbb{F}_q}W$)
oldugunu gostermemiz. (Onemli olan istenen sartlar ile ikinci kisimi gostermekti).
Sorum: Peki sadece $k \ge 3$ tam sayisi icin ilk esitlik saglansa buna ne ad veriyoruz (Ingilizce ve Turkce)? Bu fonksiyonun sifirlari hakkinda ne kadar bilgiye sahibiz?
Kaynak da kabul edilir. $Q:\mathbb{F}_{q^n} \rightarrow \mathbb{F}_q$ fonksiyonunun su ozelligi var:
$Q(ax)=a^kQ(x)$, her $a \in \mathbb{F}_q$ ve her $x \in \mathbb{F}_{q^n}$ icin.
Benim yaptigim: karakteristik $2$ icin bazi sartlarda bunlari ikili formlarla benzestirmek. Su an tek karakteristige gectim ve $k=3$ icin bile ise yarar bir kaynak bulamadim diyebilirim.
Kullanacagim $k=3$ ve tek karakteristik durumu aslinda.