Karakteristik 2'de Kuadratik Formlar

0 beğenilme 0 beğenilmeme
131 kez görüntülendi

$\def\ZZ{\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}}$ Baslikta karakteristik 2 dedim ama aslinda sadece en basit durum ile $\ZZ$ ile ilgileniyorum.

$H$ bir $\ZZ$ uzerinde sonlu boyutlu bir vektoruzayi olsun. $H$'nin uzerinde her $\alpha \in H$ icin $\alpha \cdot \alpha = 0$ olacak sekilde bir bilineer form bulunsun.

Eger bir $q: H \to \ZZ$ fonksiyonu, her $\alpha, \beta \in H$ icin $$q(\alpha + \beta) = q(\alpha) + q(\beta) + \alpha \cdot \beta$$ ozelligini sagliyorsa $q$'ya $(H, \cdot)$ uzerinde bir kuadratik form diyelim. 

Soru: En azindan bir kuadratik form oldugunu gosteriniz.

Baktigim her yerde bir kuadratik formdan bilineer form nasil cikarilir o gosteriliyor. Tersini nasil yapacagimi bilemiyorum karakteristik 2'de.

http://matkafasi.com/24945/ linkinde de bir seyler var ama iste ilgilendigimiz seyin, butun kuadratik (karesel) formlarin kumesinin bos kume olmadigini nasil goruyoruz?

6, Nisan, 2016 Akademik Matematik kategorisinde Ozgur (2,122 puan) tarafından  soruldu
6, Nisan, 2016 Ozgur tarafından düzenlendi

"$1 \in \mathbb F_2 \subset H$ ve $1 \cdot 1 \ne 0$. Hem bu karakteristige de aykiri." Derdim ama $\mathbb F_2 \subset H$ olmak zorunda degil.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Tamam. Buldum:

Lemma 1: Her $a, b \in H$ icin $a \cdot b = b \cdot a$.

Kanit: $(a+b) \cdot (a+b)$'i bilineerlikle acip, sifira esit oldugunu kullan. Kanit bitti. 

Simdi $H$ icin bir taban sec: $\{e_1, \ldots, e_n\}$. 

Lemma 2: $a = a_1 e_1 + \ldots + a_n e_n$ ve $b = b_1 e_1 + \ldots b_n e_n$ olsun. Bu durumda $$a \cdot b = \sum_{i <j} (a_i b_j + a_j b_i)e_i \cdot e_j$$ olur.

Kanit: $$a \cdot b = \sum_{i,j} a_i b_j e_i \cdot e_j$$ oldugu bilineerlik kullanilarak gosterilebilir kolaylikla. Lemma 1'i ve $e_i \cdot e_i = 0$ oldugu gercegini kullanarak kanit biter.

Bu iki gozlemi yaptiktan sonra is kolaylasiyor. Eger karakteristik 2'de olmasaydik ve bilineer formumuz $\alpha \cdot \alpha = 0$ ozelligini saglamiyor olsaydi, kuadratik formumuzu $\alpha \cdot \alpha$ formuluyle verebilirdik. Peki bizi engelleyen sey tam olarak ne?

Lemma 2'yi inceledigimiz zaman $$a \cdot a = \sum_{i <j} 2 a_ia_j e_i \cdot e_j$$ oldugunu goruyoruz. Oradaki 2, karakteristik 2'de oldugumuz icin her seyi sifir yapiyor. O zaman, o 2'yi kaldiralim ortadan. 

$q$'yu soyle tanimlayalim:

$$q(a) = \sum_{i<j} a_i a_j e_i \cdot e_j$$

Simdi bunun bir kuadratik form oldugunu gostermek kolay.

6, Nisan, 2016 Ozgur (2,122 puan) tarafından  cevaplandı

$n$-boyutlu $F_2$-vektor uzayinda dejenere olmayan kac tane quadratik form vardir? Cift boyutlu uzaylarda iki tip var ve Arf degismezi belirliyor hangi tip olacagini. Mesela iki boyutlu uzayda ya $xy$ yada $x^2+xy+y^2$ olabiliyor.  Yani $(a,b)\in F_2 ^2 $ icin $q(a,b)=ab$ yada $q(a,b)=a^2+ab+b^2$ oluyor. Birinci durumda sadece $(1,1)$ icin $q(a,b)$ sifirdan farkli. Ikinci durumda $(0,0)$ haric butun vektorlerde $q(a,b)$ sifirdan farkli. Arf(q) soyle tanimlaniyor. Eger vektor uzayindaki vektorlerlerin yarisindan fazlasi icin $q(a,b)=1$ ise $Arf(q)=1$ oluyor, yoksa $Arf(q)=0$ oluyor. O yuzden Arf invaryantina demokratik invaryant deniyor. 

Bu Arf invaryantina giden yoldaki ilk soruydu. Daha sonraki sorulari çözdük, hakikaten demokratikmis.

...