$\mathbb{F}_q$, $q$ cift, uzerindeki ikinci dereceden fomlar (quadratic forms over $\mathbb{F}_{2^n}$)

Question

$Q:\mathbb{F}_{q^n} \rightarrow \mathbb{F}_q$ ikinci dereceden bir form olsun. Su ozellikleri var:

1) $Q(ax)=a^2Q(x)$, her $a \in \mathbb{F}_q$ ve her $x \in \mathbb{F}_{q^n}$ icin

2) $B(x,y)=Q(x+y)-Q(x)-Q(y)$ simplektik ikili lineer form (symplectic bilinear form)

Simdi elimizde sunlar var bir de: 

$W=\{x \in \mathbb{F}_{q^n} \: | \: B(x,y)=0 \: \text{bútún} \: y \in \mathbb{F}_{q^n} \}$
$W_0=\{x \in W \: | \: Q(x)=0 \}$.

Eger $W_0 \neq W$ ise $|Q(x)=0|=q^{n-1}$ ve 

Eger $W_0=W$ ise  $|Q(x)=0|=q^{n-1} \pm (q-1)q^{\frac{n+w-2}{2}}$ ($w$=dim$_{\mathbb{F}_q}W$)

Bunun ispati "Finite Field-Lidl-Theorem 6.32"de var. Ispatta $Q(x_1,x_2,...,x_n)=a_{1,1}x_1^2+a_{1,2}x_1x_2+...$ seklinde ilk once ikili olarak yaziyor ve bunu sifir yapan degerleri buluyor.

Benim sorum da soyle. Sadece 

1) $Q(ax)=a^2Q(x)$ for all $a \in \mathbb{F}_q$ and for all $x \in \mathbb{F}_{q^n}$

2) $B(x,y)=Q(x+y)-Q(x)-Q(y)$ simplektik ikili lineer form (symplectic bilinear form)

$W=\{x \in \mathbb{F}_{q^n} \: | \: B(x,y)=0 \: \text{bútún} \: y \in \mathbb{F}_{q^n} \}$
$W_0=\{x \in W \: | \: Q(x)=0 \}$.

kullanaraktan

Eger $W_0 \neq W$ ise $|Q(x)=0|=q^{n-1}$ ve 

Eger $W_0=W$ ise  $|Q(x)=0|=q^{n-1} \pm (q-1)q^{\frac{n+w-2}{2}}$ ($w$=dim$_{\mathbb{F}_q}W$)

sonucunu ispatlamak.

Comments

$W_0 \neq W$ kismi kolay. Esit durumdaki merakim.

Ilgilenen olursa: quadratic forms article burdaki konu-8'e bakabilir, ekstra yontem icin. Eger bu konu hakkinda guzel bilgiler edinmek istiyorsaniz, bu rapor(paper) guzel bi kaynak.

---

sorunun cevabini buldum, vakitli bir zamanimda detayli yazmaya calisacam. Yani anladim ama nasil yazabilecegimi, nasil dogru bir sekilde eksiksiz yazabilecegimi de bilince cevaplayacagim.