$\mathbb{F}_q$, $q$ cift, uzerindeki ikinci dereceden fomlar (quadratic forms over $\mathbb{F}_{2^n}$)

0 beğenilme 0 beğenilmeme
135 kez görüntülendi
$Q:\mathbb{F}_{q^n} \rightarrow \mathbb{F}_q$ ikinci dereceden bir form olsun. Su ozellikleri var:

1) $Q(ax)=a^2Q(x)$, her $a \in \mathbb{F}_q$ ve her $x \in \mathbb{F}_{q^n}$ icin
2) $B(x,y)=Q(x+y)-Q(x)-Q(y)$ simplektik ikili lineer form (symplectic bilinear form)

Simdi elimizde sunlar var bir de: 

$W=\{x \in \mathbb{F}_{q^n} \: | \: B(x,y)=0 \: \text{bútún} \: y \in \mathbb{F}_{q^n} \}$
$W_0=\{x \in W \: | \: Q(x)=0 \}$.

Eger $W_0 \neq W$ ise $|Q(x)=0|=q^{n-1}$ ve 
Eger $W_0=W$ ise  $|Q(x)=0|=q^{n-1} \pm (q-1)q^{\frac{n+w-2}{2}}$ ($w$=dim$_{\mathbb{F}_q}W$)

Bunun ispati "Finite Field-Lidl-Theorem 6.32"de var. Ispatta $Q(x_1,x_2,...,x_n)=a_{1,1}x_1^2+a_{1,2}x_1x_2+...$ seklinde ilk once ikili olarak yaziyor ve bunu sifir yapan degerleri buluyor.

Benim sorum da soyle. Sadece 

1) $Q(ax)=a^2Q(x)$ for all $a \in \mathbb{F}_q$ and for all $x \in \mathbb{F}_{q^n}$
2) $B(x,y)=Q(x+y)-Q(x)-Q(y)$ simplektik ikili lineer form (symplectic bilinear form)

$W=\{x \in \mathbb{F}_{q^n} \: | \: B(x,y)=0 \: \text{bútún} \: y \in \mathbb{F}_{q^n} \}$
$W_0=\{x \in W \: | \: Q(x)=0 \}$.

kullanaraktan
Eger $W_0 \neq W$ ise $|Q(x)=0|=q^{n-1}$ ve 
Eger $W_0=W$ ise  $|Q(x)=0|=q^{n-1} \pm (q-1)q^{\frac{n+w-2}{2}}$ ($w$=dim$_{\mathbb{F}_q}W$)

sonucunu ispatlamak.
18, Şubat, 2015 Akademik Matematik kategorisinde Sercan (23,218 puan) tarafından  soruldu
8, Haziran, 2016 Sercan tarafından düzenlendi

$W_0 \neq W$ kismi kolay. Esit durumdaki merakim.

Ilgilenen olursa: quadratic forms article burdaki konu-8'e bakabilir, ekstra yontem icin. Eger bu konu hakkinda guzel bilgiler edinmek istiyorsaniz, bu rapor(paper) guzel bi kaynak.

sorunun cevabini buldum, vakitli bir zamanimda detayli yazmaya calisacam. Yani anladim ama nasil yazabilecegimi, nasil dogru bir sekilde eksiksiz yazabilecegimi de bilince cevaplayacagim.

...