Kesir kısımlı ikinci dereceden denklemi çözünüz.

Question

Aşağıdaki denklemi reel sayılar kümesinde çözünüz.

$x^2$−6{x}+1=0 

Burada {x} ,  bir x sayısının kesirli kısmıdır.

 (yani,  x ten daha büyük olmayan, en büyük sayı, x ten çıkarıldığında elde edilen farktır.)

Kaynak:  B.4796.soru

http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201605&t=mat&l=en

Comments

hoş soru.           

---

$\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$

---

Burada da diger kismi ile ilgili bis soru var: http://matkafasi.com/23472

---

x'in kesirli kısmına f diyelim.

$x^2-6(x-f)+1=0$

$x^2-6x+6f+1=0$

Kökler:

$x_1=3-\sqrt{8-6f}$

$x_1=3+\sqrt{8-6f}$

Kökün reel olması için kök içi sıfır yada pozitif olmalıdır.

Başka bir çözüm yolu önerebilir misiniz?

Answer 1

$y=x^2+1$ ve $y=6\{x\}$ denklemlerinin grafiklerini çizelim. İlki kolay, ikincisi şöyle tanımlanabilir, $n \in Z$ olmak üzere $\{y=6x+6n : 0\leq y<6\}$ (Sürç-i tanım ettiysem affola). Bu durumda elimize şuna benzer bir grafik gelir.

Görüldüğü üzere 5 adet kök var, çözülmesi gereken denklemleri çözersek

$x^2-6x-17=0: -3\leq x<-2 \Rightarrow x=3-\sqrt{26}$

$x^2-6x-11=0: -2\leq x<-1 \Rightarrow x=3-2\sqrt{5}$

$x^2-6x-17=0: -1\leq x<0 \Rightarrow x=3-\sqrt{14}$

$x^2-6x-17=0: 0\leq x<1 \Rightarrow x=3-2\sqrt{2}$

$x^2-6x-17=0: 1\leq x<2 \Rightarrow x=3-\sqrt{2}$ 

köklerini buluruz.

Comments

Hocam bu soruda negatif x reel sayıları için $\begin{aligned}\lfloor x\rfloor <0\\ x <\lfloor x\rfloor \end{aligned}$ eşitsizliklerinin sağlanması gerekmez mi?

$\lfloor x\rfloor =\dfrac {-x^{2}-6x-1}{6}$ iken $x <\dfrac {-x^{2}+6x-1}{6}$ eşitsizliğini sağlayan negatif x reel sayısı yoktur diye bir sonuca ulaşıyorum.Nerede hata yapıyorum yardımcı olur musunuz?