$\mathcal{H}$,düzlemin şu özelliği olan bir çemberler kümesi olsun:$\mathcal{H}$'de,$x$ ekseni üzerindeki her noktaya teğet bir çember vardır.$\mathcal{H}$'de, kesişen en az iki çember olduğunu kanıtlayın.

1 beğenilme 0 beğenilmeme
31 kez görüntülendi

$\mathcal{H}$,düzlemin şu özelliği olan bir çemberler kümesi olsun:$\mathcal{H}$'de,$x$ ekseni üzerindeki

her noktaya teğet bir çember vardır.$\mathcal{H}$'de, kesişen en az iki çember olduğunu kanıtlayın.

Eğer özelliği, "$\mathcal{H}$'de,$x$ekseni üzerindeki her noktadan geçen en az bir çember vardır"olarak

alırsak aynı sonuç doğru olmaz;nitekim $\mathcal{H}$'yi , $r>1$ için,$(0,r)$ merkezli , $2r-1$ yarıçaplı

çeberler kümesi olarak seçebiliriz.

$----------------$

Benim düşüncem;

Eğer bir şey, çember ise , o şey bir nokta değildir dolayısıyla x eksenıne teğet alabılecegımız çemberler nokta olmadığı ,çember olduğu sürece teğet noktalardan sağa ve sola doğru bir miktar çıkıntı yapacak vs. vs . ama sorunun yorum kısımı benım düşüncemle yakından uzaktan alakası yok gibi.Nasıl düşünmeliyim?

26, Mayıs, 2016 Lisans Matematik kategorisinde Anil (7,732 puan) tarafından  soruldu
3, Haziran, 2016 Anil tarafından düzenlendi

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

Çemberlerin kesişmediğini varsayalım.

Her $t\in\mathbb{R}$ için $x$-eksenine $t$ koordinatlı noktada teğet olan çemberin içinde, koordinatları rasyonel olan bir $P_t$ noktası seçelim ($\mathbb{Q}$ nun $\mathbb{R}$ de yoğun oluşunu kullanarak yapabiliriz). farklı $t$ değerleri için (çemberler kesişmediğinden) bu noktalar  farklı olacaktır. (çemberler iç-içe olamaz çünki, o durumda ikisi birden $x$-eksenine teğet olamazlar)

Bu da bize bir $\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{Q}\times\mathbb{Q},\quad t\mapsto P_t$ BİRE-BİR  fonksiyonu tanımlar. Ama $\mathbb{R}$ sayılamaz bir küme,  $\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}$ sayılabilir bir küme olduğundan bu imkansızdır. 

Çelişki.


31, Mayıs, 2016 DoganDonmez (3,673 puan) tarafından  cevaplandı
31, Mayıs, 2016 Anil tarafından seçilmiş

Hocam teşekkürler aslında benim azıcık sezebildiğim şey birazcık doğruymuş.

sanıyorum tek taşla 2 çürütme yaptınız

Her $t$ reel sayısına karşılık bir rasyonel sayı vardır dedık (hatta 1den de fazla) ve birşekilde $R$ yi $Q$ la eşledik, ama $R$ yoğun oldugunda  $Q$ ile eşlenemediğinden çelişki elde ettik (1)


Her $t$ reel sayısına karşılık , çember içindeki x eksenine paralel olan çap kirişinin üstünde $t$ den daha çok sayı bulduk yani, $Q$ nun $R$ den daha büyük oldugunu bulduk ve gene çelişki elde ettik(2)

Biliyorum aynı sayılabilir ama bence bıraz farklı  2çelişki de diyebiliriz.

$\boxed{\text{Elinize Sağlık}}$

...