İki örten fonksiyonun bileşkesinin örten olduğunu kanıtlayın.

Question

Tanım. $g:X\rightarrow Z$ fonksiyonu, eğer 

              her $z \in Z$ için, $g\left( x\right) =z$ eşitliğini sağlayan bir $x \in X$ vardır

 özelliğini sağlıyorsa, o zaman $g$ fonksiyonu örten denir.

Önerme. İki örten fonksiyonun bileşkesi örtendir.

Not. Bu fonksiyonların bileşkesinin alınabileceği varsayılmaktadır.

Kanıt. $f:X\rightarrow Y$ ve $g:Y\rightarrow Z$ birer örten fonksiyon olsunlar. Her $x\in X$ için $\left( g\circ f\right) (x)$ 'in örten olduğunu göstereceğim.

   Şimdi,  $n$ elemanlı $X$ kümesinden $Y$ kümesine giden örten fonksiyon olması için, $Y$ 'nin en fazla $n$ elemanlı olmalıdır. Benzer olarak, $m$ elemanlı $Y$ kümesinden $Z$ kümesine giden örten fonksiyon olması için, $Z$ kümesinin en fazla $m$ tane elemanı olmalıdır elbet. 

 Eleman sayılarını kullanarak kanıtmalıyız galiba kanıtlayamadım. Nasıl kanıtlayabilirim?

Comments

Bu sonlu olmayan kumeler icin de gecerli bir onerme. Eleman sayilarini kullanarak degil de, direkt tanimi kullanarak kanitlamayi dene.

Gostermen gereken sey su: her $z \in Z$ icin $g(f(x)) = z$ esitligini saglayan bir $x$ vardir.

Simdi ben sana bir $z \in Z$ veriyorum. Once $g$'nin ortenligini kullanip, $Y$'de bir eleman bul. Sonra da $f$'nin ortenligini kullan bu buldugun eleman icin.

Bunlar yardimci olmazsa biraz daha konusalim.

---

Soru guzel sorulmus.

Ozgur'un dedigi gibi tanimi kullanman dah iyi ve geneli de ispatlar.

$m\ge n$ ise $m$ elemanli kumeden $n$ elemanli kumeye giden fonksiyon, orten olabilir de, olmayabilir de. Sadece eleman sayilarini kiyaslarsak (sonlu kumeler icin) yine bir sonuca ulasamayiz.

---

@Ozgur İpucunuz için teşekkürler kanıt fikrimi buraya yazaktım ama kanıt yazılmış.

---

@Ozgur Cevaba bakmadan önce şöyle kanıtladım, cevapla aynı sanırım: 

   Şunu göstereceğim,

   Her $z \in Z$ için $g\left( f\left( x\right) \right) =z$ eşitliğini sağlayan bir $x$ vardır.

Şimdi, $g$ örten olduğu için her $z \in Z$ için bir $y \in Y$ vardır, yani $g\left( y\right) =z$. Ve, $f$ örten olduğu için, her $y \in Y$ için $f(x)=y$ eşitliğini sağlayan bir $x \in X$ vardır. O halde,

                                        $(gof)(x)=g(f(x))=g(y)=z$.

  Yani,  her $z \in Z$ için $g(f(x))=z$ eşitliğini sağlayaan bir $x \in X$ vardır.

---

@relhak Aynen, cok guzel yazmissin. Ben matematigi boyle anlatilinca seviyorum. Cok fazla formel olunca guzelligini kaybediyor bence.

Soyleyecek cok bir sey yok ama ufak bir sey buldum. Belki ben senin yerinde olsam soyle yapardim: "$z \in Z$ olsun." diye baslardim. Yani rastgele bir $z$ elemani alirdim ve onu takip ederdim. Eger ona giden bir $x$ elemani bulabilirsem, $z$ rastgele (arbitrary) bir eleman oldugu icin, sonucu her $z \in Z$ kanitlamis olurdum. Kucuk bir detay ama bence yazimi daha guzellestiriyor. Senin yazdigin gibi "her $z \in Z$ icin" diye baslayinca ayni anda butun $z$'leri dusunuyorum ben. Toplamak gerekirse ben soyle yazardim: 

Bir $z \in Z$ elemani alalim. Simdi $g$ orten oldugu icin $g(y) = z$ olacak sekilde bir $y \in Y$ vardir. Ve, $f$ orten oldugu icin, $f(x) = y$ esitligini saglayan bir $x \in X$ vardir. O halde, ......(bundan sonrasi ayni)

Ama herkesin kendi stili var tabii :)

---

Ben mesela bariz bu deyip geciyorum. Bu da bir stil. 

Answer 1

Teorem: $f:X\to Y$ fonksiyon olmak üzere

$$f:X\to Y \text{ örten}\Leftrightarrow f[X]=Y$$

Bunu ispatlamanı tavsiye ederim. Zor değil. Soruna gelince onu şöyle ifade edebiliriz:

Teorem: $f:X\to Y$ ve $g:Y\to Z$ fonksiyon olmak üzere

$$(f:X\to Y \text{ örten})(g:Y\to Z \text{ örten})\Rightarrow g\circ f:X\to Z \text{ örten}$$

İspat: 

$f:X\to Y \text{ örten ise } f[X]=Y\ldots (1)$ ve $g:Y\to Z \text{ örten ise } g[Y]=Z\ldots (2)$

O halde

$$(g\circ f)[X]=Z$$ olduğunu gösterirsek ispat biter.

$$(g\circ f)[X]\overset{?}=g[f[X]]\overset{(1)}=g[Y]\overset{(2)}=Z$$ olduğundan $$g\circ f$$ fonksiyonu örtendir.

Comments

Teoremi anlamadım, zaten tanımdan çıkmıyor mu? Her $y \in Y$ için $f(x)=y$ bir $x \in X$ vardır.