Büzülebilir uzay ve büzülebilir yol

Question

 Bir uzayım büzülebilir -contractible- veya bir yolum -path-   büzülebilir ise nasıl sonuçlar çıkarabilirim? Mesela uzayım büzülebilir ise path-connected (yol bağlı?) diyebilir miyim?

Answer 1

Buzulebilir uzaylar yol baglidir. Bunu gormek icin $X$ uzayinin $x_0$ noktasina buzulebildigini varsayalim. Yani birim fonksiyon $id: X\to X$ ile butun noktalari $x_0$ noktasina goturen sabit nokta fonksiyonu $c_{x_0}: X \to X$ arasinda bir homotopi oldugunu varsayalim. Bu homotopiyi $H$ ile gosterirsek, $H$ fonksiyonu $H: X\times I \to X$ seklinde bir surekli fonksiyondur (burada $I=[0,1]$ kapali araligini gosteriyor). $H$ su kosullari saglar: Butun $x\in X$ noktalari icin $H(x,0)=x$ ve $H(x, 1)=x_0$. Simdi verilen herhangi bir $x$ noktasi icin $H$ yi $\{x\}\times I$ alt uzayina kisitlarsak hala surekli bir fonksiyon olur. Bu da bize $x$ noktasi ile $x_0$ arasinda bir yol verir. Her $x$ noktasi $x_0$ noktasina bir yol ile bagli ise herhangi iki nokta birbirlerine bir yol ile baglidir. Dolayisi ile $X$ uzayi yol baglidir. 

Buzulebilme ve yol bagli olma cebirsel topolojide onemli kavramlardir. Buzulebilir uzaylar homotopik olarak bir noktaya estir. Dolayisi ile butun homotopi degismezleri bir nokta ile aynidir. Mesela indirgenmis homoloji gruplari sifirdir. Uzerlerinde tanimlanan vektor demetleri hep asikardir. Yol bagli uzaylar icin ise sifirinci homotopi disinda baska bir kisitlama yoktur. Yol bagli uzaylar buzulebilir olmak zorunda degildir. Mesela bir kure yol baglidir ama buzulebilir bir uzay degildir. Verilen her boyutta homotopi grubu sifir olmayan bir yol bagli uzay bulmak mumkundur.