Toplam-fark formülleri (Tanjant-Kotanjant)

Question

Tanjant 1) $\displaystyle\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\cdot\tan\beta}$

Tanjant 2) $\displaystyle\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\cdot\tan\beta}$

Kotanjant 1) $\displaystyle\cot(\alpha+\beta)=\frac{1-\cot\alpha\cdot\cot\beta}{\cot\alpha+\cot\beta}$

Kotanjant 2) $\displaystyle\cot(\alpha-\beta)=\frac{1+\cot\alpha\cdot\cot\beta}{\cot\alpha-\cot\beta}$

Formüllerini ispatlayınız.

Farkındayım tanjantın ispatı kotanjanta yetiyor ama maksat seri bozulmasın :)

Answer 1

$\cos a \ne 0$ ve $\cos b \ne 0$ olsun (ki sifira esit oldugu durumlar  bariz)  $$\tan(a+b)=\frac{\sin(a+b)}{\cos(a+b)}=\frac{\sin a\cos b+\sin b \cos a}{\cos a \cos b-\sin a\sin b}$$ $$=\frac{\cos a\cos b(\tan a +\tan b)}{\cos a \cos b(1-\tan a \tan b)}=\frac{\tan a +\tan b}{1-\tan a \tan b}$$ olur.

Digerleri de benzeri. Ornegin, $\tan(a-b)=\tan(a+(-b))$ yazmak yeterli.

Answer 2

$$tan(\alpha+\beta) =\frac{sin(\alpha+\beta)}{cos(\alpha+\beta)}$$

$$tan(\alpha+\beta) =\frac{sin(\alpha)cos(\beta)+sin(\beta).cos(\alpha)}{cos(\alpha)cos(\beta)-sin(\alpha).sin(\beta)}$$ Şimdi pay ve paydayı $cos(\alpha).cos(\beta)$ ile bölelim.

$$tan(\alpha+\beta) =\frac{tan(\alpha)+tan(\beta)}{1-tan(\alpha).tan(\beta)}...........(1)$$ elde edilir. Bu eşitlikte $\beta$ yerine $-\beta$ yazalım.

$$tan(\alpha-\beta) =\frac{tan(\alpha)+tan(-\beta)}{1-tan(\alpha).tan(-\beta)}$$ ve $tan(-\beta)=-tan(\beta)$ olduğu kullanılırsa

$$tan(\alpha-\beta) =\frac{tan(\alpha)-tan(\beta)}{1+tan(\alpha).tan(\beta)}...................(2)$$ bulunur. Bunlara benzer olarak; $$cot(\alpha+\beta) =\frac{cos(\alpha+\beta)}{sin(\alpha+\beta)}$$

$$cot(\alpha+\beta) =\frac{cos(\alpha)cos(\beta)-sin(\beta).sin(\alpha)}{cos(\alpha)sin(\beta)+sin(\alpha).cos(\beta)}$$ Şimdi pay ve paydayı $sin(\alpha).sin(\beta)$ ile bölelim.

$$cot(\alpha+\beta) =\frac{cot(\alpha)cot(\beta)-1}{cot(\alpha)+cot(\beta)} ......................(3)$$ elde edilir. Bu son eşitlikte yine $\beta$ yerine $-beta$ yazılırsa,

$$cot(\alpha-\beta) =\frac{cot(\alpha)cot(-\beta)-1}{cot(\alpha)+cot(-\beta)}$$ ve $cot(-\beta)=-cot\beta$ olduğu kullanılırsa

$$cot(\alpha-\beta) =\frac{cot(\alpha)cot(\beta)+1}{cot(\beta)-cot(\alpha)}....................(4)$$

bulunur.