Bir parabole normal;

Question

$x=y^2$ parabolündeki $(a,0)$  noktasından aşşağıda verilen

üç normali çizmek mümkünse, 

Soru 1)$a$'nın $\frac{1}{2}$'den büyük olması gerektiğini gösterin

Soru 2) "$x$"-ekseni dışındaki 2 normalin dik olması için $a$ ne olmalıdır?

Answer 1

Cevap1) Verilen parabolün denklemi; odağı $(p/2,0)$ noktasında olan standart $y^2=2px$ şeklindedir. Dolayısıyla $p/2=a\Rightarrow p=2a$ ve $y^2=4ax$ olur. 

   Bu parabolün simetri ekseni x-ekseni olduğundan, $a=0$ için tek teğet ve tek normal vardır. $a>0$ için parabol üzerinde bulunan ve birbirinin  x-eksenine göre simetriği  olan $A(x_0,y_0),B(x_0,-y_o)$ şeklinde daima iki nokta vardır. Dolaysıyla da $a>0$ için her zaman x-ekseni üzerinde kesişen üç normali vardır.

cevap2) Parabolün $A,B$ noktalarındaki eğimleri: $2yy'=4a\Rightarrow y'=\frac{2a}{y}$ den $A(x_0,y_0)$ noktasındaki teğete dik olan normalin eğimi : $\frac{-y_0}{2a}$ ve $B(x_0,-y_0)$ noktasındaki teğete dik olan normalin eğimi :$\frac{y_0}{2a}$ dır. Bu ikisinin çarpımı $-1$ olmalıdır.

$\frac{-y_0}{2a}\frac{y_0}{2a}=-1\Rightarrow y_0^2=4a^2$ elde edilir. Öte yandan bu noktalar parabol üzerinde olduğundan $y_0^2=4ax_0$ dır. Bu sonuç bir önceki eşitlikte kullanılırsa $4ax_0=4a^2\Rightarrow a=x_0$ olmalıdır.

  

Comments

Hocam elinize sağlık.

---

Önemli değil. Kolaylıklar ve başarılar dilerim.

---

Cevap 1) için başka çözüm


$x=j$ noktasındaki eğim

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{2y}$ den dolayı

$\dfrac{1}{2k}$ dır

ve aynı $x=j$ noktasındaki eğim;

$\dfrac{k}{j-a}=$ den dolayı(2 nokta arasındaki eğim) $\dfrac{1}{2k}$'un normal eğimine eşit olur yani

$m_1.m_2=-1$     ($d_1$  $d_2$'ye dik ise eğimleri çarpımı $-1$ dir)

$\dfrac{k}{j-a}=-2k$

$j\ge0$ her zaman sağlandığından

$a=\dfrac{1}{2}+j$ için

$a\ge\dfrac{1}{2}$ her zaman sağlanır. $\Box$