Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
636 kez görüntülendi

Sorum: f:CC fonksiyonu f(z)=zez olarak verilmis olsun. Bu fonksiyonun orten oldugunu nasil gosterebilirim?

Gozlemlerim:

1) Eger aC goruntu kumesinde ise, yani f(z0)=z0ez0=a olacak sekilde bir z0 var ise, o zaman ¯a da goruntu kumesindedir. Cunku,

¯a=¯z0ez0=¯z0¯ez0=¯z0¯ex0+iy0=¯z0¯ex0¯eiy0=¯z0ex0eiy0=¯z0e¯z0=f(¯z0).

2) f butun kompleks sayilar uzerinde tanimli ve analitik. Ayrica bariz bir sekilde sabit fonksiyon degil. Picard'in teoremi sunu soyluyor: f en fazla bir noktayi iskalayabilir. Bunu ilk gozlemimizle birlestirirsek iskalama ihtimali olan tek nokta bir reel sayi. Ayrica biraz reel sayilarda kalkulus kullanarak eger boyle bir nokta varsa bu sayinin 1e'den kucuk olmasi gerektigini gosterdim.

3) Diyelim f fonksiyonu c noktasini iskaliyor. O zaman f(z)c fonksiyonu C'de analitik ve hicbir zaman sifir olmayan bir fonksiyon demektir. Bu durumda eg(z)=f(z)c olacak sekilde bir g analitik fonksiyonu olmasi gerektigini biliyorum. Bu g fonksiyonunun orten olmasi gerektigini de biliyorum. 

Bu gozlemler bir ise yarar mi? 

Lisans Matematik kategorisinde (2.5k puan) tarafından  | 636 kez görüntülendi

1 cevap

2 beğenilme 0 beğenilmeme

Cozdum!!

Gozlemlerimden ilk ilkine ihtiyacim yok. Yalnizca ucuncu gozlemi kullanacagim. Bu gozlemi tekrar yazayim.


Diyelim f fonksiyonu c noktasini iskaliyor. O zaman f(z)c fonksiyonu C'de analitik ve hicbir zaman sifir olmayan bir fonksiyon demektir. Bu durumda eg(z)=f(z)c olacak sekilde bir g analitik fonksiyonu olmasi gerektigini biliyorum.

Simdi,

eg(z)=cf(z)c=cf(z)=0zez=0z=0

Yani eg(z)=cz=0 

Simdi, eg(0)=c oldugunu biliyorum. α1=g(0)+2πi ve α2=g(0)2πi sayilarina bakalim. g fonksiyonu tum duzlemde analitik ve sabit olmayan bir fonksiyon oldugu icin Picard'in kucuk teoremi bu α1,α2 sayilarindan en az bir tanesinin g'nin goruntu kumesinde olmasi gerektigini soyluyor.

Genelligi bozmadan α1'in goruntu kumesinde oldugunu varsayalim. Yani oyle bir z1C var ki g(z1)=α1. Ote yandan g fonksiyonu iyi tanimli oldugu icin z10. Simdi

eg(z1)=eα1=eg(0)+2πi=eg(0)e2πi=eg(0)=c

Ama bu ile celisiyor.

(2.5k puan) tarafından 

Güzel bir çözüm olmuş. 

Çözüme bakınca burada zez fonksiyonun tam oluşu ve 0 değerinin bir kez alışı dışında başka özelliği kullanılmıyor. Yanılmıyorsam şu genelleştirme hemen görülüyor:

f bir  tam fonksiyon ve bir a değerini sonlu kez alıyor ise f örtendir.

20,312 soru
21,868 cevap
73,589 yorum
2,855,062 kullanıcı