Sorum: f:C→C fonksiyonu f(z)=zez olarak verilmis olsun. Bu fonksiyonun orten oldugunu nasil gosterebilirim?
Gozlemlerim:
1) Eger a∈C goruntu kumesinde ise, yani f(z0)=z0ez0=a olacak sekilde bir z0 var ise, o zaman ¯a da goruntu kumesindedir. Cunku,
¯a=¯z0ez0=¯z0¯ez0=¯z0¯ex0+iy0=¯z0¯ex0¯eiy0=¯z0ex0e−iy0=¯z0e¯z0=f(¯z0).
2) f butun kompleks sayilar uzerinde tanimli ve analitik. Ayrica bariz bir sekilde sabit fonksiyon degil. Picard'in teoremi sunu soyluyor: f en fazla bir noktayi iskalayabilir. Bunu ilk gozlemimizle birlestirirsek iskalama ihtimali olan tek nokta bir reel sayi. Ayrica biraz reel sayilarda kalkulus kullanarak eger boyle bir nokta varsa bu sayinin −1e'den kucuk olmasi gerektigini gosterdim.
3) Diyelim f fonksiyonu c noktasini iskaliyor. O zaman f(z)−c fonksiyonu C'de analitik ve hicbir zaman sifir olmayan bir fonksiyon demektir. Bu durumda eg(z)=f(z)−c olacak sekilde bir g analitik fonksiyonu olmasi gerektigini biliyorum. Bu g fonksiyonunun orten olmasi gerektigini de biliyorum.
Bu gozlemler bir ise yarar mi?