Kompleks analiz ile ilgili bir soru

0 beğenilme 0 beğenilmeme
98 kez görüntülendi

$f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ fonksiyonu analitik bir fonksiyon ve $f(z)=U(z)+iV(z)$ olsun.Her $z\in\mathbb{C}$ için$U(z)\leq0$ ise $f$ sabittir.  Bununla ilgili şöyle düşündüm eğer ki f'(z)= 0 ise f nin sabit olduğunu görebilirim buradan Cauchy-Riemann eşitliklerinden f'(z) yi yazdım ama sonuca ulaşamadım buradan gidişim doğru mu yani buradan bulabilir miyim?

8, Haziran, 8 Lisans Matematik kategorisinde HakanErgun (121 puan) tarafından  soruldu
Aslında evet, CR denklemlerini biraz zorlayıp kanıtlayabilirsin. Ama benim şöyle 2 sorum var:

1) Liouville teoremini biliyor musun?
2) Üst yarı düzlemi birim diske götürecek bir möbius dönüşümü yazabilir misin?

 1. Sorunuz için Evet hocam  Liouville teorimini biliyorum analitik ve sınırlı ise f sabittir benim sorumda zaten analitiklik verilmiş siz bu 2.sorunuz ile  sınırlı olduğunu yakalamaya çalışmamı istiyorsunuz herhalde ama 2.sorunuz ise için Hocam nasıl belirleyebilirim Bir fikrim yok

Aynen öyle! Eğer 2. sorudaki gibi bir $g$ fonksiyonu bulabilirsen, $g\circ f$ fonksiyonu sınırlı ve analitik bir fonksiyon olur. Dolayısıyla sabit fonksiyon olur. Oradan da $f$'nin sabit olduğunu çıkarabilirsin.

$g$'yi nasıl bulacağını da Möbius transformasyonlarını anlatan bir kaynaktan bulabilirsin.


Bu sorunun amacı genelde yukarıda yazdığım şeyleri test etmek. Onun dışında kompleks analizde çok daha güçlü teoremler var bu soruyu cevaplayabilecek. Picard teoremi mesela. Çok saçma güçlü bir teorem. Cauchy-Riemann denklemleri çok önemli o yüzden.

Picard teoremini bilmiyorum hocam 

Mobius dönüşümü olmadan da yapılabilir.

$U(z)\leq0$ olduğunu kullanarak $e^{f(z)}$ nin sınırlı olduğunu göstermeye çalış.

Şöyle desem yanlış olur mu hocam $|e^ (f(z))| \leq e$ olduğu görülür $U(z)\leq0$ olduğundan dolayı 

Nasıl görüldüğünü de  (yani $U(z)\leq0$ dan nasıl elde edildiğini) açıklamalısın.

(Bu arada $e$ sayısı, $|e^{f(z)}|$ için en iyi (en küçük) üst sınır değil)

Hocam şöyle gördüm şimdi |e^f(z)|=|e^U(z).cis(V(z))|=|e^U(z)| buradan sonra $U(z)\leq0$ oldugundan U(z)=0 olma durumu var en büyük durum bu oluyor yani o da 1 e eşittir buradan en küçük üst sınır 1 `den büyük en küçük sayı olmasını bekleriz 1+epsilon diye mi düşünmeliyiz Hocam

$U(z)\leq0$ dan $|e^{f(z)}|=e^{U(z)}\leq e^0=1$ demek yeterli olur.

Hocam f(z) nin de  sınırlı olduğunu iki tarafın ln ini Alarak mı söylecegim?

Bu şekilde söylemem yanlış oldu herhalde hocam


Liouville in teoreminden $e^{f(z)}$ (sınırlı tam fonksiyon olduğu için) sabit olur.

Bu noktadan sonrası da biraz özen gerektiriyor, çünki $e^z$ 1-1 değil.

Şimdi hocam şu şekilde düşünüyorum $e^{f(z)}$ nin sabit olduğunu göstermiş olduk buradan her $z\in\mathbb{C}$ için $f(z)$ nin reel olduğunu söyleyebiliriz o  halde f fonksiyonu sabittir diyebilir miyiz?

İkinci olarak da şöyle düşünüyorum $e^{f(z)}$ sabit olduğunu göstermiş olduk buradan $e^{f(z)}$ nin turevini aldığımızda $f`(z)=0$ olduğu görülür dolayısıyla f sabittir diyebiliriz

Birinci soru:

$e^{f(z)}$ nin sabit oluşundan $f(z)$ nin reel olduğu çıkmaz.

İkinci soru:

Evet $e^{f(z)}$ nin türevi $f'(z)e^{f(z)}$ olduğu ve $e^{f(z)}$ hiç bir zaman 0 olmadığı için, her $z\in\mathbb{C}$ için $f'(z)=0$ olur.

(Özgür ün önerdiği gibi Mobius dönüşümü kullansaydık (Mobius dönüşümleri 1-1 olduğu için) daha hızlı olurdu)

Teşekkür ederim hocam

...