$\star\star$ $(\sqrt5+\sqrt2)^6$ 'dan büyük , en küçük tam sayı kaçtır? (çözüm yöntemleri)

Question

cevap 2366'imiş -Hypatia Olimpiyatları

Comments

Sen neler yaptin cozum icin?

Soyle bir cozum olabilir:
ilk olarak binom olarak hesaplarsak  $$(\sqrt5+\sqrt2)^6=1183+374\sqrt{10}$$ olur.  $$3,162 < \sqrt{10}<3,163$$ oldugundan $$...$$

---

ilk denemem çok kaba;

$(\sqrt5+\sqrt2)^6=(7+2\sqrt10)^3$

$3<  \sqrt{10}< 4$

$13^3 < (7+2\sqrt{10})^3 < 15^3$

$2197 < (7+2\sqrt{10})^3$ oluyor

Şıklar 2364,2365,2366,2367 oldugundan aha garanti birşey aradım


binomal olarak

$(\sqrt5+\sqrt2)^4.(\sqrt5+\sqrt2)^2$ yapayım dedım


$(\sqrt5+\sqrt2)^4=5^2+2^2+6.5.2+6.5.2=159$     oluyor

$(\sqrt5+\sqrt2)^2=7+2.\sqrt{10}$ 

buradan daha belirsiz cevap geldi.

şıklardaki kesinlikten dolayı çok kesin bir çözüm olabılır dıye duşundum

---

hesap makınası olmadan tabikide, yoksa kolay.

---

Yukaridakileri kafamdan yaptim zaten.. Binom acmak kolay, $\sqrt{10}$ icin de 

1) $31^2<10^3<32^2$ diye devam edince geliyor. Fakat uzun islem bu..

---

Ikinci cozumum: $$0<\sqrt 5-\sqrt2<1$$ oldugundan ve $$(\sqrt5+\sqrt2)^6+(\sqrt5-\sqrt2)^6=2366$$ oldugundan $$...$$

---

bunu cevab'a cevırır mısınız?

Answer 1

$$0<\sqrt 5-\sqrt2<1$$ oldugundan ve $$(\sqrt5+\sqrt2)^6+(\sqrt5-\sqrt2)^6=2366$$ oldugundan $$...$$