Vivianni Teoremini ispatlayın.

Question

Bir eşgenar üçgenin iç noktasında alınan bir P noktasından kenarlara çizilen yüksekliklerin toplamı ,eşgenar üçgenin yüksekliğine eşittir.

Bu önermeyi ispatlayınız.

Answer 1

 $[AH]$ yükseklikli bir $ABC$ üçgeninin kenarlarına inilen dikmeler kenarları $D$, $E$ ve $F$ noktalarında kessin ($[PD]\bot[AB]$,$[PE]\bot[AC]$ ve $[PF]\bot[BC]$ olacak şekilde). $A(PAB)+A(PAC)+A(PBC)=A(ABC)$ olduğundan $\frac{|AB|.|PD|}{2}+\frac{|AC|.|PE|}{2}+\frac{|BC|.|PF|}{2}=\frac{|AH|.|BC|}{2}$ ve $|AB|=|AC|=|BC|$ olduğundan $|PD|+|PE|+|PF|=|AH|$ bulunur.