İç ekstremum teoremini ispatlayın.(İspatım yeterli mi?)

0 beğenilme 0 beğenilmeme
66 kez görüntülendi
İç ekstremum teoremi:

Tanım aralığının bir $c$ iç noktasında , $f$'nin bir yerel maximum veya minimumu varsa  ve $c$ noktasında   $\dfrac{d}{dx}f$ tanımlıysa,
$$f'(c)=0\quad \quad \text{dır.}$$

İspat (maximum için);

$f'(c)$'nin bir yerel ekstremumda sıfır olduğunu göstermek için,önce $f'(c)$ 'nin pozitiv olamayacağını , sonra da negativ olamayacağını göstericeğiz.

$f$ 'nin  $x=c$ 'de , $c$'ye yeterince yakın her  $x$ değerinde  $f(x)-f(c)\le0$ olacak şekilde bir yerel maximum değeri olduğunu varsayın.

$c$,  $f$ 'nin tanım kümesinin bir iç noktası olduğu için ,$f'(c)$ ,

$$\lim\limits_{x\to c}\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}$$  iki taraflı limitiyle verilir.Bu, $x=c$ 'de hem sağdan hem de soldan limitlerin var olduğunu  ve

$f'(c)$ 'ye eşit olduğunu anlamına gelir.Bu limitleri ayrı ayrı incelediğimizde,

$$f'(c)=\lim\limits_{x\to c^+}\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}\le 0\quad\quad \Longleftarrow \; \begin{align}(x-c)>0 \\ f(x)\le f(c) \end{align}$$

Aynı şekilde,

$$f'(c)=\lim\limits_{x\to c^-}\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}\ge 0\quad\quad \Longleftarrow \; \begin{align}(x-c)<0 \\ f(x)\le f(c) \end{align}$$

Yukardaki limitler birlikte, $f'(c)=0$ olmasını gerektirir ve yerel maximum teoremi ispatlanır $\Box$

İspat (minimum için);

Yerel maximum teoreminin ispatındaki gibi yapalım ama bu sefer her $x$ değeri için tanım aralığındaki minimum $c$ noktası için $f(c)\le f(x)$ olduğundan ve,

$$f'(c)=\lim\limits_{x\to c^+}\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}\ge 0\quad\quad \Longleftarrow \begin{align}(x-c)>0 \\ f(x)\ge f(c) \end{align}$$

Aynı şekilde,

$$f'(c)=\lim\limits_{x\to c^-}\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}\le 0\quad\quad \Longleftarrow  \begin{align}(x-c)<0 \\ f(x)\ge f(c) \end{align}$$

Yukardaki limitler birlikte, $f'(c)=0$ olmasını gerektirir ve yerel minimum teoremi ispatlanır $\Box$


28, Mayıs, 2016 Lisans Matematik kategorisinde Anil (7,732 puan) tarafından  soruldu
29, Mayıs, 2016 Anil tarafından düzenlendi

ispat doğru. $f$ yi $-f$ ile değiştirerek ikinci kısım biraz kısaltılabilir.

Ama, bu teoremin adının, birinci Türev Teoremi değil de (yaygın adı olan) 

İç Ekstremum Teoremi olması daha uygun.

Birinci Türev Teoremi (testi) maksimum ve minimum ile ilgili farklı bir şey söyleyen teoreme deniyor:

",,,,,,,, ise $f,\ c$ de bir yerel maksimuma,

........  ise $f,\ c$ de bir yerel minimuma,

erişir" şeklindek teoreme, genellikle verilen addır (ki ikinci türev testi de benzer işleve sahiptir)

anladım düzelteyim,her zamanki gibi ilginize müteşekkirim.

...