Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
320 kez görüntülendi

$X=\{a,b,c,d,e\}$ kümesi üzerinde $\mathcal{B}=\{\{a,b,c\},\{c,d\},\{a,d,e\}\}$ ailesi yardımıyla bir topoloji elde ediniz.

Lisans Matematik kategorisinde (67 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 320 kez görüntülendi

ß ailesindeki kümelerin olası kesişimlerinin birleşimlerini alabilirsin mesela.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Tanım: $X\neq\emptyset$ küme ve $\mathcal{A}\subseteq \mathcal{P}(X)$ olmak üzere $\mathcal{A}$ ailesinin sonlu altailelerinin kesişiminden elde edilen ailenin keyfi altailelerinin birleşimi $X$ kümesi üzerinde bir topolojidir. Bu topolojiye $\mathcal{A}$ ailesinin ürettiği topoloji denir ve $\langle\mathcal{A}\rangle$ ile gösterilir. Biçimsel olarak

$$\langle\mathcal{A}\rangle:=\{\cup\mathcal{B}^*|\mathcal{B}^*\subseteq \mathcal{B}=\{\cap\mathcal{A}^*|(\mathcal{A}^*\subseteq\mathcal{A})(|\mathcal{A}^*|<\aleph_0\}\}$$ şeklinde ifade edilir.

$$\mathcal{A}=\{\{a,b,c\},\{c,d\},\{a,d,e\}\}$$ olduğuna göre öncelikle $\mathcal{B}$ ailesini bulalım.

$$\mathcal{B}=\{\cap\mathcal{A}^*|(\mathcal{A}^*\subseteq\mathcal{A})(|\mathcal{A}^*|<\aleph_0\}$$

$$\Rightarrow$$

$$\mathcal{B}=\{\cap\{\},\cap\{\{a,b,c\}\},\cap\{\{c,d\}\},\cap\{\{a,d,e\}\},\cap\{\{a,b,c\},\{c,d\}\},\cap\{\{a,b,c\},\{a,d,e\}\},\cap\{\{c,d\},\{a,d,e\}\},\cap\mathcal{A}\}$$

$$\Rightarrow$$

$$\mathcal{B}=\{X,\{a,b,c\},\{c,d\},\{a,d,e\},\{c\},\{a\},\{d\},\emptyset\}$$

$\mathcal{B}$ ailesinin keyfi altailelerinin birleşimini alarak da topolojiyi buluruz.

$$\langle\mathcal{A}\rangle=\{\cup\mathcal{B}^*|\mathcal{B}^*\subseteq \mathcal{B}\}$$

$$\Rightarrow$$

$$\langle\mathcal{A}\rangle=\mathcal{B}\cup\{\{a,b,c,d\},\{a,c,d,e\},\{a,c,d\},\{a,c\},\{a,d\}\}$$

ailesi, $\mathcal{A}$ aielsinin doğurduğu topolojidir.

(11.4k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,200 soru
21,728 cevap
73,277 yorum
1,888,006 kullanıcı