$(\mathbb{R},\mathcal{U})$ alışılmış topolojik uzay olmak üzere $$\tau:=\{A|A^c, \ \mathcal{U}\text{-kompakt}\}\cup\{\emptyset\}$$ ailesinin $\mathbb{R}$ gerçel sayılar kümesi üzerinde bir topoloji olduğunu gösteriniz.

0 beğenilme 0 beğenilmeme
111 kez görüntülendi

$(\mathbb{R},\mathcal{U})$ alışılmış topolojik uzay olmak üzere $$\tau:=\{A|A^c, \ \mathcal{U}\text{-kompakt}\}\cup\{\emptyset\}$$ ailesinin $\mathbb{R}$ gerçel sayılar kümesi üzerinde bir topoloji olduğunu gösteriniz.

22, Mayıs, 22 Lisans Matematik kategorisinde murad.ozkoc (9,641 puan) tarafından  soruldu

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$\mathbf{T_1)}$ $\emptyset\in \tau$ olduğu verilmiş. 

$\mathbb{R}^c=\emptyset$  ve  $\emptyset, \ \mathcal{U}$-kompakt olduğundan $\mathbb{R}\in \tau.$


$\mathbf{T_2)}$ $A,B\in\tau$ olsun.

$A,B\in\tau\Rightarrow [(A=\emptyset\vee B=\emptyset)\vee (A\neq\emptyset)(B\neq\emptyset)]$

$\textbf{I. durum:}$  $A=\emptyset\vee B=\emptyset$ olsun.

$(A=\emptyset\vee B=\emptyset)\Rightarrow A\cap B=\emptyset\in\tau.$

$\textbf{II. durum:}$  $A\neq\emptyset$  ve  $B\neq\emptyset$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr}\emptyset\neq A\in \tau\Rightarrow A^c, \ \mathcal{U}\text{-kompakt} \\ \\ \emptyset\neq B\in \tau\Rightarrow B^c, \ \mathcal{U}\text{-kompakt}\end{array}\right\}\overset{?}\Rightarrow (A\cap B)^c=A^c\cup B^c, \ \mathcal{U}\text{-kompakt} \Rightarrow A\cap B\in\tau.$

Not: Soru işaretinin gerekçesine buradaki linkten ulaşabilirsiniz.


$\mathbf{T_3)}$ $\mathcal{A}\subseteq \tau$ olsun. $(\emptyset\notin\mathcal{A}$ olduğunu varsayabiliriz. Neden?)

$$\begin{array}{rcl} A\in\mathcal{A}\subseteq \tau & \Rightarrow & A^c, \ \mathcal{U}\text{-kompakt} \\ \\ & \Rightarrow & A^c, \ \mathcal{U}\text{-kapalı ve sınırlı} \\ \\ & \Rightarrow & \bigcap_{A\in\mathcal{A}}A^c, \ \mathcal{U}\text{-kapalı ve sınırlı} \\ \\ & \Rightarrow & \setminus\left(\bigcup \mathcal{A}\right)=\bigcap_{A\in\mathcal{A}}A^c, \ \mathcal{U}\text{-kompakt} \\ \\ & \Rightarrow & \bigcup \mathcal{A}\in\tau. \end{array}$$


22, Mayıs, 22 murad.ozkoc (9,641 puan) tarafından  cevaplandı
25, Mayıs, 25 murad.ozkoc tarafından düzenlendi
$\tau\subseteq\mathcal{U}$ olduğunu gösteriniz.
...