$(\mathbb{R},\tau)$ topolojik uzayının bir Hausdorff uzayı olmadığını gösteriniz.

1 beğenilme 0 beğenilmeme
49 kez görüntülendi

İlgili sorudaki $(\mathbb{R},\tau)$ topolojik uzayının bir Hausdorff uzayı olmadığını gösteriniz.

25, Mayıs, 25 Lisans Matematik kategorisinde murad.ozkoc (9,443 puan) tarafından  soruldu

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$(X,\tau)$ topolojik uzayının Hausdorff uzayı olduğunu varsayalım. $x,y\in X$  ve  $x\neq y$  olsun.


$\left.\begin{array}{rr} (x,y\in X)(x\neq y) \\ \\ (X,\tau), \text{ Hausdorff uzayı}\end{array}\right\}\Rightarrow (\exists U\in\mathcal{U}(x))(\exists V\in\mathcal{U}(x))(U\cap V=\emptyset)$


$\Rightarrow (U^c, \ \mathcal{U} \ \text{-kompakt})(V^c, \ \mathcal{U} \ \text{-kompakt})(U^c\cup V^c=(U\cap V)^c=\emptyset^c=\mathbb{R})$


$\Rightarrow (U^c\cup V^c, \ \mathcal{U} \ \text{-kompakt})(U^c\cup V^c=\mathbb{R})$ 


Bu ise $\mathbb{R}$'nin $\mathcal{U}$-kompakt olmaması ile çelişir.

26, Mayıs, 26 murad.ozkoc (9,443 puan) tarafından  cevaplandı
...