$X$ sayılamaz bir küme ve $a,$ $X$ kümesinin belirli bir elemanı olmak üzere $$\tau=\mathcal{P}(X\setminus\{a\})\cup \left\{A|(a\in A\subseteq X)(|X\setminus A|\leq\aleph_0)\right\}$$ ailesinin $X$ kümesi üzerinde bir topoloji olduğunu gösteriniz.

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$X$ sayılamaz bir küme ve $a,$ $X$ kümesinin belirli bir elemanı olmak üzere $$\tau=\mathcal{P}(X\setminus\{a\})\cup \left\{A|(a\in A\subseteq X)(|X\setminus A|\leq\aleph_0)\right\}$$ ailesinin $X$ kümesi üzerinde bir topoloji olduğunu gösteriniz.

22, Ocak, 22 Lisans Matematik kategorisinde murad.ozkoc (9,494 puan) tarafından  soruldu
26, Ocak, 26 murad.ozkoc tarafından düzenlendi

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$\mathbf{T_1)}$ $\emptyset,X\overset{?}{\in}\tau$

$\left.\begin{array}{rr}\emptyset\subseteq X\setminus\{a\}\Rightarrow \emptyset\in\mathcal{P}(X\setminus\{a\}) \\ \\  \tau=\mathcal{P}(X\setminus\{a\})\cup \{A|(a\in A\subseteq X)(|X\setminus A\}|\leq\aleph_0)\}\end{array}\right\}\Rightarrow \emptyset\in \tau.$


$\left.\begin{array}{rr} (a\in X\subseteq X)(|X\setminus X|=|\emptyset|=0\leq\aleph_0)\Rightarrow X\in \{A|(a\in A\subseteq X)(|X\setminus A|\leq\aleph_0)\} \\ \\  \tau=\mathcal{P}(X\setminus \{a\})\cup \{A|(a\in A\subseteq X)(|X\setminus A|\leq\aleph_0)\}\end{array}\right\}\Rightarrow X\in \tau.$


$\mathbf{T_2)}$ $A,B\in\tau$ olsun.

$\textbf{I. durum:}$ $A,B\in\mathcal{P}(X\setminus\{a\})$ olsun.


$\left.\begin{array}{rr} A\in\mathcal{P}(X\setminus\{a\})\Rightarrow A\subseteq X\setminus\{a\} \\ \\  B\in\mathcal{P}(X\setminus\{a\})\Rightarrow B\subseteq X\setminus\{a\}\end{array}\right\}\Rightarrow A\cap B\subseteq X\setminus\{a\}\Rightarrow A\cap B\in\mathcal{P}(X\setminus\{a\})\ldots (1)$


$\tau=\mathcal{P}(X\setminus\{a\})\cup \{A|(a\in A\subseteq X)(|X\setminus A|\leq\aleph_0)\}\ldots (2)$


$(1),(2)\Rightarrow A\cap B\in\tau.$


$\textbf{II. durum:}$ $A,B\in\{A|(a\in A\subseteq X)(|X\setminus\{a\}|\leq\aleph_0)\}$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} A\in\{A|(a\in A\subseteq X)(|X\setminus A|\leq\aleph_0)\}\Rightarrow (a\in A\subseteq X)(|X\setminus A|\leq\aleph_0) \\ \\  B\in\{A|(a\in A\subseteq X)(|X\setminus A|\leq\aleph_0)\}\Rightarrow (a\in B\subseteq X)(|X\setminus B|\leq\aleph_0) \end{array}\right\}\Rightarrow$

$\Rightarrow (a\in A\cap B\subseteq X)(|X\setminus (A\cap B)|=|(X\setminus A)\cup (X\setminus B)|\leq\aleph_0)$

$\Rightarrow A\cap B\in \{A|(a\in A\subseteq X)(|X\setminus A|\leq\aleph_0)\}\ldots (1)$

$\tau=\mathcal{P}(X\setminus\{a\})\cup \{A|(a\in A\subseteq X)(|X\setminus A|\leq\aleph_0)\}\ldots (2)$

$(1),(2)\Rightarrow A\cap B\in\tau.$


$\textbf{III. durum:}$ $A\in\mathcal{P}(X\setminus\{a\}) \ \text{ ve }  \ B\in\{A|(a\in A\subseteq X)(|X\setminus\{a\}|\leq\aleph_0)\}$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} A\in\mathcal{P}(X\setminus\{a\})\Rightarrow A\subseteq X\setminus\{a\} \\ \\ B\in\{A|(a\in A\subseteq X)(|X\setminus\{a\}|\leq\aleph_0)\}\Rightarrow (a\in A\subseteq X)(|X\setminus\{a\}|\leq\aleph_0)\end{array}\right\}\Rightarrow$


$\Rightarrow A\cap B\subseteq X\setminus\{a\}\Rightarrow A\cap B\in\mathcal{P}(X\setminus\{a\})\ldots (1)$


$\tau=\mathcal{P}(X\setminus\{a\})\cup \{A|(a\in A\subseteq X)(|X\setminus A|\leq\aleph_0)\}\ldots (2)$


$(1),(2)\Rightarrow A\cap B\in\tau.$


$\mathbf{T_3)}$ $\mathcal{A}\subseteq \tau$ olsun.

$$\mathcal{A}\subseteq \tau$$
$$\Rightarrow$$
$$\mathcal{A}\subseteq \mathcal{P}(X\setminus\{a\}) \ \vee \ \mathcal{A}\subseteq \{A|(a\in A\subseteq X)(|X\setminus A\}|\leq\aleph_0)\} \ \vee \ \mathcal{A}\subseteq \mathcal{P}(X\setminus\{a\})\cup \{A|(a\in A\subseteq X)(|X\setminus A\}|\leq\aleph_0)\}$$

$\textbf{I. durum:}$ $\mathcal{A}\subseteq \mathcal{P}(X\setminus\{a\})$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} A\in\mathcal{A}\subseteq \mathcal{P}(X\setminus\{a\})\Rightarrow A\subseteq X\setminus \{a\}\Rightarrow \bigcup \mathcal{A}=\bigcup_{A\in\mathcal{A}} A\subseteq X\setminus \{a\}\Rightarrow \bigcup \mathcal{A}\in\mathcal{P}(X\setminus\{a\}) \\ \\ \tau=\mathcal{P}(X\setminus\{a\})\cup \{A|(a\in A\subseteq X)(|X\setminus A|\leq\aleph_0)\} \end{array}\right\}\Rightarrow \bigcup\mathcal{A}\in\tau.$

$\textbf{II. durum:}$ $\mathcal{A}\subseteq \{A|(a\in A\subseteq X)(|X\setminus A\}|\leq\aleph_0)\}$ olsun.

$A\in \mathcal{A}\subseteq \{A|(a\in A\subseteq X)(|X\setminus A\}|\leq\aleph_0)\}\Rightarrow (a\in A\subseteq X)(|X\setminus A\}|\leq\aleph_0)$

$\Rightarrow (a\in\bigcup_{A\in\mathcal{A}} A=\bigcup\mathcal{A}\subseteq X)(|X\setminus (\bigcup\mathcal{A})|=|X\setminus (\bigcup_{A\in\mathcal{A}} A)|\leq |X\setminus A|\leq\aleph_0)$

$\left.\begin{array}{rr} \Rightarrow \bigcup\mathcal{A}\in \{A|(a\in A\subseteq X)(|X\setminus A|\leq\aleph_0)\}  \\ \\ \tau=\mathcal{P}(X\setminus\{a\})\cup \{A|(a\in A\subseteq X)(|X\setminus A|\leq\aleph_0)\} \end{array}\right\}\Rightarrow \bigcup\mathcal{A}\in\tau.$


$\textbf{III. durum:}$ $\mathcal{A}\subseteq \mathcal{P}(X\setminus\{a\})\cup \{A|(a\in A\subseteq X)(|X\setminus A\}|\leq\aleph_0)\}$ olsun.

$$\mathcal{A}\subseteq \mathcal{P}(X\setminus\{a\})\cup \{A|(a\in A\subseteq X)(|X\setminus A\}|\leq\aleph_0)\}$$
$$\Rightarrow$$
$$\left(\exists\mathcal{A}_1\subseteq 2^X\right)\left(\exists\mathcal{A}_2\subseteq 2^X\right)\left(\mathcal{A}_1\subseteq 2^{X\setminus\{a\}}\right)\left(\mathcal{A}_2\subseteq \{A|(a\in A\subseteq X)(|X\setminus A|\leq\aleph_0)\}\right)  \left(\mathcal{A}=\mathcal{A}_1\cup\mathcal{A}_2\right)$$
$$\overset{\text{I.  ve  II.  Durum}}\Rightarrow$$
$$\left(\bigcup\mathcal{A}_1\in 2^{X\setminus \{a\}}\right)\left(\bigcup\mathcal{A}_2\in\{A|(a\in A\subseteq X)(|X\setminus A|\leq\aleph_0)\}\right) \left(\bigcup\mathcal{A}=\left(\bigcup\mathcal{A}_1\right)\cup \left(\bigcup\mathcal{A}_2\right)\right)$$
$$\overset{?}{\Rightarrow}$$
$$\bigcup\mathcal{A}\in\tau.$$

Not: Soru işaretinin gerekçesi aşağıda verilmiştir.
$$\left(A\in 2^{X\setminus\{a\}}\right)(B\in \{A|(a\in A\subseteq X)(|X\setminus A|\leq\aleph_0)\})$$
$$\Rightarrow$$
$$A\cup B\in \{A|(a\in A\subseteq X)(|X\setminus A|\leq\aleph_0)\}.$$
23, Ocak, 23 murad.ozkoc (9,494 puan) tarafından  cevaplandı
25, Ocak, 25 murad.ozkoc tarafından düzenlendi
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