Konvekslik ve konvekslik testi. $f(\alpha x+(1-\alpha)y)\leq \alpha f(x)+(1-\alpha)f(y)$

Question

$\underline{\underline{Konvekslik}}$;

Eğer    $(\forall x,y\in[a,b])$   &    $(\forall \alpha \in [0,1])$ için

$f(\alpha x+(1-\alpha)y)\leq \alpha f(x)+(1-\alpha)f(y)$  eşitsizliği sağlanıyorsa ,$f$  ye  $[a,b]$ aralığında aşşağıya doğru konveks (iç bükey) fonksiyon denir.


Eğer    $(\forall x,y\in[a,b])$   &    $(\forall \alpha \in [0,1])$ için

$f(\alpha x+(1-\alpha)y)\geq \alpha f(x)+(1-\alpha)f(y)$  eşitsizliği sağlanıyorsa ,$f$  ye  $[a,b]$ aralığında yukarıya doğru konveks (dış bükey) fonksiyon denir.


$\underline{\underline{Konvekslik_.{_{.}}Testi}}$;

$f$  fonksiyonu $[a,b]$  de sürekli ve $(a,b)$  açık aralığında iki kez diferansiyellenebilir fonksiyon olsun. Bu taktirde , $f$  fonksiyonunun aşşağıya/yukarıya doğru konveks olması için gerek ve yeter koşul $(a,b)$ nin her noktasında   $f''(x)\geq 0$ ($f''(x)\leq$) eşitsizliğinin sağlanmasıdır.

------------------------------------------------------------------------------------------------

Konvekslik testini çok iyi kavrıyorum, ilk yazılan konvekslik tanımını anlayamadım, yardımcı olur musunuz?

$f(\alpha x+(1-\alpha)y)\leq \alpha f(x)+(1-\alpha)f(y)$  buradaki olay nedir?

Answer 1

$\alpha$, sifir ile bir arasinda bir sayiyken $\alpha x + (1-\alpha)y$ sayisi hakkinda ne soyleyebiliriz? Bunu inceleyelim:

Diyelim ki $x<y$ olsun. Bu durumda $$\alpha x + (1 - \alpha)y> \alpha x + (1 - \alpha)x = (\alpha + 1- \alpha )x = x$$ olur. Ote yandan $$\alpha x + (1 - \alpha) y < \alpha y + (1-\alpha) y = (\alpha + 1 - \alpha) y = y$$ olur.

Sunu gostermis olduk: $\alpha x + (1-\alpha)y$ sayisi $y$'den kucuk, $x$'ten buyukmus.

Simdi $\alpha$'yi $0$'dan $1$'e kadar degistirirsek, $x$ ile $y$ arasindaki butun sayilari bulabilecegimizi gormemiz lazim.

Bunu sureklilik argumani kullanarak soyleyebilirsin. Ya da direkt hesaplayabilirsin.

Sunu gostermis olduk:

$$\{\alpha x + (1-\alpha) y : \alpha \in [0,1]\}$$ kumesi $x$ ile $y$'yi baglayan dogru parcasidir.

Ayni sekilde $$\{\alpha f(x) + (1- \alpha) y : \alpha \in [0,1] \}$$ de $f(x)$ ile $f(y)$ arasindaki dogru parcasi.

Cok uzun okumadim diyenler icin: Konveksligin tanimi sana $x$ ile $y$ arasindaki dogru parcasinin goruntusu ile, $f(x)$ ile $f(y)$ arasindaki dogrunun goruntusunu karsilastiriyor.

Comments

teşekkür ederim.

---

bu arada ,güzel anlatımlı çözüm olsun da uzun olsun , okuyacak eleman herzaman bulunuyor:)

Answer 2

f nin bir aralıkta  konkav (aşağı bükey) olması demek f ye çizdiğin teğetlerin grafiğin üzerinde kalması anlamına gelir. f konveks (yukarı bükey) iken ise teğetler grafiğin altında kalır. Eşitsizlikler eşitlik olarak verilseydi f nin lineer olması gerekirdi. 

Comments

anladım zaten teğetleri düşündüm hatta çizdim .

Ama yazılan eşitsizlikler bunu nasıl anlatıyor onu şey edemedim.Onu açıklar mısınız?

---

Kabaca şunu söyleyebiliriz Anıl. Her $x_1,x_2\in [a,b]$ için $(x_1,f(x_1))$ noktası ile $(x_2,f(x_2))$ noktasını birleştiren doğru parçasının, fonksiyonun grafiğinin $x=x_1$ ve $x=x_2$ doğruları arasında kalan parçasının üstünde kalması.