Question

$G$ kompozisyon serisine sahip çözülebilir bir grup ise $G$ nin sonlu olduğunu gösteriniz.

Comments

Kompozisyon serisine sahip olmak ne demek tam olarak belirtir misiniz? Benim anladığım kadarıyla $\mathbb{Z}$'nin de kompozisyon serisi var, çözülebilir ama sonlu değil.

---

$G$ grubunun normal altgruplarının $G=H_{0}\supseteq H_{1}\supseteq H_{2}\supseteq ...\supseteq H_{n}=\{e\}$ zinciri olsun. Eğer herbir $i=1,2,...,n$  için $H_{i}\unlhd H_{i-1}$ in maksimal normal altgrubu ise zincire kompozisyon serisidir denir.

Answer 1

Çözülebilir bir grubun altgrupları ve bölüm grupları da çözülebilirdir.

Kompozisyon serisinin uzunluğu üzerinden tümevarım yapalım.

Eğer bunun uzunluğu $1$ ise, $G$ çözülebilir basit bir grup olur ve dolayısıyla sonlu olur.

Kompozisyon serisinin uzunluğu birden büyükse, $H_1$ grubu tümevarım varsayımından sonlu olmalı.

$G/ H_1$  grubu basit ve çözülebilir olduğundan sonlu olmak zorunda. $H_1$ ve $G/H_1$ sonlu olduğundan $G$ de sonlu olmak zorunda.