Kirişlerin orta noktalarının geometrik yer denklemini bulunuz.

Question

$x^2+y^2-4x-8y+k=0$ çemberinin içindeki $P(1,-2)$ noktasından geçen kirişlerin orta noktalarının geometrik yerini ifade eden denklemi bulunuz.

Comments

Çapı $(2,4)$ ve $(1,-2)$ noktaları olan bir çember olduğunu düşünebiliriz. Çemberin merkezi olan $(2,4)$ noktası kirişlerin orta noktalarına diktir, bu da $(2,4)$ ve $(1,-2)$ noktaları arasını çap yapar. Fakat bunu daha matematiksel bir yoldan nasıl çözebiliriz?

---

P noktası çemberin üstünde olmayabilir. Öngörün genede doğrumudur?

---

k belli olsa bile zaten zor olan bu problem k belirsiz iken dahada zorlaştı sanırım:) yoksa ben birşeyler kaçırıyorum galiba.

---

$P$ noktası çember içinde olduğu şartı zaten verilmiş. Sanırım matematiksel yollardan çember oluşturduğunu bulmak sorun, yorumdan çıkarması epey kolay da.

---

eşitsizlik sistemi ile     $\sqrt{20-k}$ yarıçapındaki bir çemberin iç bölgesinde bulunan $P$ noktasının ............

yok olmuyor, bu soruyu sen mi yarattın yoksa bir yerler de var mı?

Sen yarattıysan biraz modifye edebiliriz, 

Başka biyerlerde var ise , büyük ihtimal kolay bir çözümü vardır , ve bu beni rahatsız ediyor.

---

Soruyu ben yazmadım, soru geometri kitabında var ama reklam olmasın diye kaynak belirtmiyorum.

---

anladım Yakup, bunu bir Mehmet hocaya soralım bakalım hocamız ne ipucu vericek bizlere.

---

Soru kuvvetten falan çıkıyor olabilir. Mehmet hoca veya Sercan hoca (gerçi Sercan hoca benim sorulara uğramıyor bu ara ama) çözümü biliyordur muhtemelen :)

Answer 1

$x^2+y^2-4x-8y+k=0\Rightarrow (x-2)^2+(y-4)^2-20+k=0$ olup. Çemberin merkezi $M(2,4)$  noktasıdır. $P$ noktası çemberin içinde olduğundan $P$ den geçen en kısa kiriş, $P$ den geçen çapa dik olanıdır. Ayrıca çemberde merkezden kirişe inilen dikme kirişi ve ayırdığı yayı ortaladığından $P(1,-2)$ noktası geometrik yere aittir. $P$ den geçen bir başka kirişte (ki bu en uzun olanıdır) çaptır. O halde çemberin merkezi de geometrik yere aittir. 

$P$ den geçen( en kısa ve en uzun kirişten farklı) herhangi bir kiriş $[AB]$ olsun. $[MC]\bot[AB]$ ise $|AC|=|CB|$ olup,$C$ noktasıda geometrik yere aittir. Oysa oluşan $PCM$ üçgeninde $m(PCM)=90$ olduğundan $C$ noktasının geometrik yeri, $|MP|$ çaplı çemberdir.Buna benzer olarak $P$ den geçen herhangi bir kirişin orta noktasının geometrik yerinin $|MP|$ çaplı çember olduğunu ve denkleminin de $(x-\frac 32)^2+(y-1)^2=\frac{37}{4}$ olduğunu söyleyebiliriz.

Comments

Teşekkürler hocam.

---

Önemli değil.Kolay gelsin.