Kirişlerin orta noktalarının geometrik yer denklemini bulunuz.

0 beğenilme 0 beğenilmeme
693 kez görüntülendi

$x^2+y^2-4x-8y+k=0$ çemberinin içindeki $P(1,-2)$ noktasından geçen kirişlerin orta noktalarının geometrik yerini ifade eden denklemi bulunuz.

19, Nisan, 2016 Orta Öğretim Matematik kategorisinde sonelektrikbukucu (2,871 puan) tarafından  soruldu

Çapı $(2,4)$ ve $(1,-2)$ noktaları olan bir çember olduğunu düşünebiliriz. Çemberin merkezi olan $(2,4)$ noktası kirişlerin orta noktalarına diktir, bu da $(2,4)$ ve $(1,-2)$ noktaları arasını çap yapar. Fakat bunu daha matematiksel bir yoldan nasıl çözebiliriz?

P noktası çemberin üstünde olmayabilir. Öngörün genede doğrumudur?
k belli olsa bile zaten zor olan bu problem k belirsiz iken dahada zorlaştı sanırım:) yoksa ben birşeyler kaçırıyorum galiba.

$P$ noktası çember içinde olduğu şartı zaten verilmiş. Sanırım matematiksel yollardan çember oluşturduğunu bulmak sorun, yorumdan çıkarması epey kolay da.

eşitsizlik sistemi ile     $\sqrt{20-k}$ yarıçapındaki bir çemberin iç bölgesinde bulunan $P$ noktasının ............

yok olmuyor, bu soruyu sen mi yarattın yoksa bir yerler de var mı?

Sen yarattıysan biraz modifye edebiliriz, 

Başka biyerlerde var ise , büyük ihtimal kolay bir çözümü vardır , ve bu beni rahatsız ediyor.

Soruyu ben yazmadım, soru geometri kitabında var ama reklam olmasın diye kaynak belirtmiyorum.

anladım Yakup, bunu bir Mehmet hocaya soralım bakalım hocamız ne ipucu vericek bizlere.

Soru kuvvetten falan çıkıyor olabilir. Mehmet hoca veya Sercan hoca (gerçi Sercan hoca benim sorulara uğramıyor bu ara ama) çözümü biliyordur muhtemelen :)

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

$x^2+y^2-4x-8y+k=0\Rightarrow (x-2)^2+(y-4)^2-20+k=0$ olup. Çemberin merkezi $M(2,4)$  noktasıdır. $P$ noktası çemberin içinde olduğundan $P$ den geçen en kısa kiriş, $P$ den geçen çapa dik olanıdır. Ayrıca çemberde merkezden kirişe inilen dikme kirişi ve ayırdığı yayı ortaladığından $P(1,-2)$ noktası geometrik yere aittir. $P$ den geçen bir başka kirişte (ki bu en uzun olanıdır) çaptır. O halde çemberin merkezi de geometrik yere aittir. 

$P$ den geçen( en kısa ve en uzun kirişten farklı) herhangi bir kiriş $[AB]$ olsun. $[MC]\bot[AB]$ ise $|AC|=|CB|$ olup,$C$ noktasıda geometrik yere aittir. Oysa oluşan $PCM$ üçgeninde $m(PCM)=90$ olduğundan $C$ noktasının geometrik yeri, $|MP|$ çaplı çemberdir.Buna benzer olarak $P$ den geçen herhangi bir kirişin orta noktasının geometrik yerinin $|MP|$ çaplı çember olduğunu ve denkleminin de $(x-\frac 32)^2+(y-1)^2=\frac{37}{4}$ olduğunu söyleyebiliriz.

20, Nisan, 2016 Mehmet Toktaş (18,358 puan) tarafından  cevaplandı
20, Nisan, 2016 sonelektrikbukucu tarafından seçilmiş

Teşekkürler hocam.

Önemli değil.Kolay gelsin.

...