Question

Reel sayılardaki her x elemanı için; S(x)= {(x − δ, x + δ) : δ > 0} ailesi , gerçel eksen üzerindeki salt topolojiye göre x noktasının bir komşuluklar tabanıdır. Neden?

Answer 1

İpucu:  

Tanım (Komşuluklar Tabanı (Lokal Baz, Yerel Baz)): $(X,\tau)$ topolojik uzay, $x\in X$  ve  $\mathcal{E}(x)\subseteq\mathcal{U}(x)$ olmak üzere

$$\mathcal{E}(x), x\text{'in komşuluklar tabanı}:\Leftrightarrow (\forall U\in\mathcal{U}(x))(\exists E\in\mathcal{E}(x))(E\subseteq U)$$

Comments

$U\in\mathcal{U}(x)$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} U\in\mathcal{U}(x)\Rightarrow (\exists a,b\in\mathbb{R})(x\in (a,b)\subseteq U) \\ \delta:=\min\{x-a,b-x\} \end{array}\right\}\Rightarrow E:=(x-\delta,x+\delta)\subseteq (a,b)\subseteq U.$

---

Teşekkürler.