İki irrasyonel sayı a ve b için ab rasyonel olabilir mi?
√2√2 bir aşkın sayıdır (bunu göstermek kolay değildir, şu linke bakabilirsiniz: http://matkafasi.com/7035/%24-sqrt-a-sqrt-a%24-rasyonel-olabilir-mi).
Bunun yerine, kontrolü daha basit olan bir örnek verelim. Örneğin
√2log√23=3 bir tam sayıdır ve log√23 bir irrasyonel sayıdır. (Rasyonel varsayarsak, 9n=2k (n,k∈N) çelişkisini elde ederiz).
ex sürekli bir fonksiyon ve eq sayısı hiç bir rasyonel q=a/b≠0 için rasyonel olamaz: olursa ea da rasyonel olur ve e sayısı xa−ea'nın kökü olur ve bu da e sayısının rasyonel sayılar üzerindeki aşkınlığı ile çelişir. Demek ki sadece irrasyonel kuvvetlerden geliyormuş rasyonel değerler.
http://matkafasi.com/102501
a=√2√2 ve b=√2 olmak üzere ab=2 olur.
√2√2 irrasyonel mi?
Peki √2√2 irrasyonel mi?
Bence guzel yontem olmus ama Gokhan hocam sorusunda hakli.Ispat soyle olabilir: a=√2 ve b=√2 ve ab rasyonelse bu bir ornektir. Eger irrasyonelse A=ab diyelim, Ab=2 olacagindan ilki ornek degise, bu bir ornektir.
Sorun yok, guclu teoremler kullanmaya da gerek yok. Eger √2√2 rasyonelse a=b=√2 aliriz.
Bir ust yorum ondan bahsediyor, Sercan'in yaptigi :)