Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.6k kez görüntülendi

 n x n'lik determinanıntı 0'dan farklı matrisler grubunun -general linear group- altgruplarının, örneğin O(n),SO(n),U(n),Sp(n),, Lie cebirlerini nasıl bulabilirim? Lie bracket (parantez?) tanımlarken şunu mu kullanmalıyım?

A,BGL(n,R) olmak üzere [A,B]=A.BB.A

Ek olarak cismi R yerine C alsam matrislerinin boyutunu 2 katına çıkarmaktan başka bir ekleme yapmam gerekir mi bu tanımlarda?
Akademik Matematik kategorisinde (477 puan) tarafından  | 1.6k kez görüntülendi

2 Cevaplar

3 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Matris grubunu tanımlayan koşul  matris denklem(ler)i ise Lie cebirinin (tüm tekil olmayan matrilerin Lie cebirinin alt cebiri olarak) bulmak daha kolay (verdiğin örneklerin hepsinde öyle). 

GL(n,R) nin Lie cebiri (gl(n,R)) tüm n×n matrisler  ve  [A,B]=ABBA olduğundan gerisi kolay. (soruda da A,B herhangi iki kare matris olmalı)

O grupta (t=0 anında birim elemandan geçen) türevlenebilen bir eğri alıp, grubun elamanlarının sağladığı denklem(ler)i yazalım. Bu eşitlik(ler) her t için doğru.

Bu eşitlik(ler)te türev alınır ve t=0 yazlırsa, e deki türevin sağladığı denklem(ler) çıkacaktır. o da Lie cebirini oluşturan matrislerin sağlaması gereken koşul(lar) olacaktır.

Örneğin O(n) ve SO(n) için  denklem AAt=I  dır.

Eğri A(t), (A(0)=I) olsun. A(t)A(t)t=I olur. Türev alalım. (türev ve transpoz sırası değiştirilebilir)

A(t)A(t)t+A(t)A(t)t=0 olur. t=0 için

A(0)+A(0)t=0

yani O(n) ve SO(n) nin Lie cebiri gl(n,R)(=tüm n×n matrisler) içindeki ters simetrik matrislerdir

(6.2k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş

Aslında benim cevabım eksik oldu.

Sadece SO(n) in Lie cebirinin terssimetrik matrislerin icinde kaldigini gosterdim. Eştligi gostermek icin bir de ters icermeyi gostermek gerekir.

Doğan hocam şu kısımdaki teknik detayları isteyebilir miyim?

"O grupta (t=0 anında birim elemandan geçen) türevlenebilen bir eğri alıp, grubun elamanlarının sağladığı denklem(ler)i yazalım. Bu eşitlik(ler) her tt için doğru.

Bu eşitlik(ler)te türev alınır ve t=0 yazlırsa, ee deki türevin sağladığı denklem(ler) çıkacaktır. o da Lie cebirini oluşturan matrislerin sağlaması gereken koşul(lar) olacaktır."

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Yanlış hatırlamıyorsam bir G Lie grubunun Lie cebri grubun e birim noktasındaki tanjant uzaydan oluşur. Örneğin S-1 kürenin (çemberin) Lie cebri (1,0) noktasından çizilen teğettir. SO(3) dönme grubunun (aynı zamanda topolojik manifold yapısı vardır) Lie cebri, so(3),  skew-simetrik (anti simetrik) bir matristen oluşur. 

(3.2k puan) tarafından 

Manifoldlar ve tanjant uzaylarına olabildiğince dokunmadan çözüme ulaşmamın bir yolu var mı peki?

20,296 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,723,919 kullanıcı