Matris grubunu tanımlayan koşul matris denklem(ler)i ise Lie cebirinin (tüm tekil olmayan matrilerin Lie cebirinin alt cebiri olarak) bulmak daha kolay (verdiğin örneklerin hepsinde öyle).
GL(n,R) nin Lie cebiri (gl(n,R)) tüm n×n matrisler ve [A,B]=AB−BA olduğundan gerisi kolay. (soruda da A,B herhangi iki kare matris olmalı)
O grupta (t=0 anında birim elemandan geçen) türevlenebilen bir eğri alıp, grubun elamanlarının sağladığı denklem(ler)i yazalım. Bu eşitlik(ler) her t için doğru.
Bu eşitlik(ler)te türev alınır ve t=0 yazlırsa, e deki türevin sağladığı denklem(ler) çıkacaktır. o da Lie cebirini oluşturan matrislerin sağlaması gereken koşul(lar) olacaktır.
Örneğin O(n) ve SO(n) için denklem AAt=I dır.
Eğri A(t), (A(0)=I) olsun. A(t)A(t)t=I olur. Türev alalım. (türev ve transpoz sırası değiştirilebilir)
A(t)A′(t)t+A′(t)A(t)t=0 olur. t=0 için
A′(0)+A′(0)t=0.
yani O(n) ve SO(n) nin Lie cebiri gl(n,R)(=tüm n×n matrisler) içindeki ters simetrik matrislerdir