Borel alt küme

Question

$G$ sıfırdan farklı bir $\mu$  Radon ölçümüyle birlikte yerel kompakt bir grup olsun. $E$ nin $G$ nin bir Borel altkümesi olması için gerek ve yeter şart $E^{-1}$ nin $G$ nin bir Borel altkümesi olmasıdır. Bu önermenin doğruluğunu nasıl gösterebiliriz?

Answer 1

Bu sorunun ölçüm kuramı ile ilgisini anlayamadım.   Her $x  \in G$ için $f(x)=x^{-1}$ olarak tanımlanan  $f:G \rightarrow G$ fonksiyonu $G$ nin bir homeomorfizmasıdır. Homeomorfizmalar kuşkusuz Borel kümelerini korur. O halde önerme $G$ sadece bir topolojik grup olsa da doğrudur.

Soruda göremediğim bir şey mi var?

Comments

Hocam, cevabınız için çok teşekkür ederim. Dediğiniz gibi verilen önermenin doğru olması için $G$ nin topoloijk grup olması yetiyor sanırım. Sizin de belirttiğiniz gibi $G$ bir topolojik grupsa ters dönüşümün bir homeomorfizm olduğunu kullanarak soruda verilen önermenin doğruluğunu görebiliyoruz.

---

Hocam,Borel alt kümeler sigma cebirinin elemanları olduğu için $E$ bir Borel kümeyse $E^{-1}$ nin de bir Borel küme olduğunu söyleyebilmek için ters dönüşümün homoeomorfizm olmasıyla birlikte ölçülebilir bir fonksiyon olması da gerekmez mi?  

---

Soru sorulduğu şekliyle başka ek bir bilgiyi gerektirmiyor. Fakat anladığım kadarıyla burada $G$ üzerinde tanımlı bir Radon ölçümüne ilişkin başka bir problem ile bazı bilgileri ilişkilendirmek gerekiyor. 

O halde durum şöyle olmalı:  $G$ yerel tıkız bir topolojik grup. Bunun üzerinde Borel kümelerini de içeren $\mathcal{M}$ gibi bir  $\sigma$ - cebir ve bu cebir üzerinde tanımlı $\mu $ gibi bir ölçüm var. $\mathcal{B}$ ile Borel kümelerinin kümesini gösterelim. Şimdi $f:G \rightarrow G$ herhangi bir sürekli fonksiyon ise $G$ nin her açık $V$ alt kümesi için $f^{-1}(V)$ de açıktır. Her açık küme bir Borel kümesi olduğundan  $f^{-1}(V) \in \mathcal{B\subset M}$ dir. O halde $f$ ölçülebilirdir. 

---

Cevabınız için çok teşekkür ederim hocam.