Borel alt küme

0 beğenilme 0 beğenilmeme
76 kez görüntülendi

$G$ sıfırdan farklı bir $\mu$  Radon ölçümüyle birlikte yerel kompakt bir grup olsun. $E$ nin $G$ nin bir Borel altkümesi olması için gerek ve yeter şart $E^{-1}$ nin $G$ nin bir Borel altkümesi olmasıdır. Bu önermenin doğruluğunu nasıl gösterebiliriz?

8, Nisan, 2015 Akademik Matematik kategorisinde rukiye (369 puan) tarafından  soruldu
8, Nisan, 2015 rukiye tarafından düzenlendi

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

Bu sorunun ölçüm kuramı ile ilgisini anlayamadım.   Her $x  \in G$ için $f(x)=x^{-1}$ olarak tanımlanan  $f:G \rightarrow G$ fonksiyonu $G$ nin bir homeomorfizmasıdır. Homeomorfizmalar kuşkusuz Borel kümelerini korur. O halde önerme $G$ sadece bir topolojik grup olsa da doğrudur.

Soruda göremediğim bir şey mi var?

8, Nisan, 2015 UnluYusuf (505 puan) tarafından  cevaplandı
8, Nisan, 2015 rukiye tarafından seçilmiş

Hocam, cevabınız için çok teşekkür ederim. Dediğiniz gibi verilen önermenin doğru olması için $G$ nin topoloijk grup olması yetiyor sanırım. Sizin de belirttiğiniz gibi $G$ bir topolojik grupsa ters dönüşümün bir homeomorfizm olduğunu kullanarak soruda verilen önermenin doğruluğunu görebiliyoruz.

Hocam,Borel alt kümeler sigma cebirinin elemanları olduğu için $E$ bir Borel kümeyse $E^{-1}$ nin de bir Borel küme olduğunu söyleyebilmek için ters dönüşümün homoeomorfizm olmasıyla birlikte ölçülebilir bir fonksiyon olması da gerekmez mi?  

Soru sorulduğu şekliyle başka ek bir bilgiyi gerektirmiyor. Fakat anladığım kadarıyla burada $G$ üzerinde tanımlı bir Radon ölçümüne ilişkin başka bir problem ile bazı bilgileri ilişkilendirmek gerekiyor. 

O halde durum şöyle olmalı:  $G$ yerel tıkız bir topolojik grup. Bunun üzerinde Borel kümelerini de içeren $\mathcal{M}$ gibi bir  $\sigma$ - cebir ve bu cebir üzerinde tanımlı $\mu $ gibi bir ölçüm var. $\mathcal{B}$ ile Borel kümelerinin kümesini gösterelim. Şimdi $f:G \rightarrow G$ herhangi bir sürekli fonksiyon ise $G$ nin her açık $V$ alt kümesi için $f^{-1}(V)$ de açıktır. Her açık küme bir Borel kümesi olduğundan  $f^{-1}(V) \in \mathcal{B\subset M}$ dir. O halde $f$ ölçülebilirdir. 


Cevabınız için çok teşekkür ederim hocam.
...