$G$ bir grup ve topolojik uzay olsun. Grup işleminin ve $g\in G$ olmak üzere $g\mapsto g^{-1}$ ile verilen dönüşümün sürekliliğinin $G\times G\to G,\ (g,h)\mapsto gh^{-1} $ dönüşümünün sürekliliğine denk olduğunu gösteriniz

Question

$G$ bir topolojik grup olsun.  Grup işleminin ve $g\in G$ olmak üzere $g\mapsto g^{-1}$ ile verilen dönüşümün sürekliliğinin $G\times G\to G,\ (g,h)\mapsto gh^{-1} $ dönüşümünün sürekliliğine denk olduğunu gösteriniz 

Answer 1

$(g,h)\mapsto gh^{-1}$ fonksiyonunu $\phi(g,h)$ ile gosterelim ve $e$ ile de grubun etkisiz elemanini gosterelim. Sabit bir $g\in G$ icin $G$'den kendisine tanimlanmis $h\longmapsto gh^{-1}$ fonksiyonunu da $\phi_g(h)$ ile gosterelim. Son olarak da $G$'den $G$'ye her seyi sabit bir $g$ elemanina goturen sabit fonksiyonu $c_g$ ile gosterelim. Bu gosterimler altinda $\phi_g$ fonksiyonunu soyle yazabiliriz: $$\phi\circ(c_e\times id_G).$$ Burada $c(c_e\times id_G)$ yazilarak $g\longmapsto (e,g)$ fonksiyonu anlatilmak isteniyor.Iki surekli fonksiyonun kartezyen carpimi surekli, surekli iki fonksiyonun bileskesi de surekli olduguna gore, ters alma islemi surekliymis.

$G\times G$'den $G$'ye tanimli carpim fonksiyonu da suna esit: $$\phi\circ (\cdot)^{-1}$$ Ters alma surekli, $\phi$ surekli, o halde bileskeleri olan carpma fonksiyonu da surekli.

Ters taraf da benzer sekilde gosterilebilir.