Riemann zeta fonksiyonunun sıfırlarının asal sayılarla ne alakası var?

2 beğenilme 0 beğenilmeme
162 kez görüntülendi
7, Nisan, 2015 Akademik Matematik kategorisinde Safak Ozden (3,347 puan) tarafından  soruldu

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

ilk olarak $\psi$ fonksiyonunu tanimlayalim ($p$ asal, $m$ pozitif tamsayi): $$\psi(x)=\sum\limits_{p^m\leq x}\log p.$$ Aslinda bu fonksiyon ($[x]$ tak deger fonksiyonu "asagiya yuvarlayan" olmak uzere) $$\psi(x)=\sum\limits_{p \leq x}\bigg[\frac{\log x}{\log p}\bigg]\log p.$$ $\pi(x)$ fonksiyonu da $x$'den kucuk asal sayilarin sayisi olsun.


Theorem: Eger $x \rightarrow \infty$ iken $\psi(x) \sim x$ ise $\pi(x)\sim \frac {\log x}x$

ispat: ilk olarak $$\psi(x)=\sum\limits_{p \leq x}\bigg[\frac{\log x}{\log p}\bigg]\log p \leq \sum\limits_{p \leq x}\frac{\log x}{\log p}\log p \leq \pi(x) \log x$$ oldugundan $$\frac {\psi(x)}{x} \leq \pi(x) \frac{\log x}{x}$$ gelir. Burdan da $\lim\limits_{x \rightarrow\infty}\frac{\psi(x)}{x}=1$ oldugundan ilk gozlemimiz $$1 \leq \lim\limits_{x\rightarrow \infty}\inf \pi(x) \frac{\log x}{x}.$$ Simdi $0 < \alpha < 1$ olacak sekilde bir $\alpha$ secelim (sabitleyelim).  O zaman $$\psi(x) \geq \sum\limits_{p \leq x}\log p \geq \sum\limits_{x^\alpha \leq p \leq x}\log p \leq (\pi(x)-\pi(x^\alpha))\log x^\alpha$$. Yani $$\frac{\psi(x)}{x} \geq \alpha \frac{  \log x(\pi(x) -\pi(x^\alpha))}{x} $$ yani $$1 \geq  \alpha\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\sup \pi(x) \frac{\log x}{x}.$$ O halde $$\pi(x)\sim \frac {\log x}x.$$

8, Nisan, 2015 Sercan (22,720 puan) tarafından  cevaplandı
8, Nisan, 2015 Sercan tarafından düzenlendi

Zeta fonksiyonunu ilgili soruyu gosterirken kullaniyoruz. 

...