$F(\Bbb{R})=\{f\mid f:\Bbb{R}\rightarrow \Bbb{R}\}$ ve $\forall x\in \Bbb{R}$ için $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ $(f.g)(x)=f(x)g(x)$ ile $F(\Bbb{R})$ halkası veriliyor. $t\in \Bbb{R}$ olmak üzere $I_{t}=\{f\in F(\Bbb{R}) \mid f(t)=0\}$ idealinin maksimal olduğunu gösteriniz.

0 beğenilme 0 beğenilmeme
107 kez görüntülendi
$F(\Bbb{R})$ nin $J-$yarıbasit olduğunu ispat ediniz.
7, Nisan, 2015 Akademik Matematik kategorisinde Handan (1,510 puan) tarafından  soruldu
7, Nisan, 2015 Handan tarafından düzenlendi

4 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

$f(t)=a\neq 0$ olan bir eleman alalım. Diğer noktalardaki görüntüsünü bilmiyoruz. Şimdi şu fonksiyona bakalım. $x\neq t$ için $g(x)=f(x)$ eğer $f(x)\neq 0$ ve $g(x)=1$ eğer $f(x)=0$ ise. Ve son olarak $g(t)=0$ koyalım. Bu durumda $g\in I_t$ olur $f+g$'nin hiçbir noktadaki değeri sıfır olmaz. O halde çarpımsal tersi vardır. Yani dışardan alınan herhangi bir elemanla $I_t$'nin elemanları $1$'i üretiyor. O halde $I_t$ maksimaldir.


Yarı basit ne?

7, Nisan, 2015 Safak Ozden (3,403 puan) tarafından  cevaplandı
7, Nisan, 2015 Handan tarafından seçilmiş

radikalin sıfır olması (Jacobson radikali; maksimal ideallerin kesişimi)

Semi-simple    

$I_t$'ler maksimal olduğuna göre diğer yanıt yarı-basitliği kanıtlar.
$I_{t}$ ler bütün maksimalleri tarar mı? Yani bunu nasıl garanti ediyoruz.

Hepsini taramasına gerek yok. Hepsinin kesişimi bunların kesişiminin içinde olacak mecbur.

Kendisini içeren tek ideal halkanın kendisi, maksimal olmadıgını kabul edip çok raht ispatlanabilir.
Benim soruda çok saçma oldu. Tamam teşekkür ediyorum, yardımların için.

Rica ederim.

Ne kadar rahat! Bir ispatlayıversen Sercan, o çözümüde görmeyi isterim.


Tabletli dakikalar, kısa ispat ya da yorum saatleri :)

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$I_t$'de olmak için $t$ noktasında $0$ olmak zorunda fonksiyon. Her $I_t$'de olmak için her $t$'de sıfır olmak gerekir. Yani bu küme $\{0\}$ olmak zorundadır. Cebirsel bir yapı olmasına da gerek yok burada bir şeyleri yanlış anlamadıysam.

7, Nisan, 2015 Safak Ozden (3,403 puan) tarafından  cevaplandı
Ya soru enfazla 300 karakter dediği için bir türlü yazamadım. 1 saatte yazdım sağol 2 sn de çözdün. Asıl soru $I_{t}$ nin maksimal ideal olduğunun gösterilmesi ve $F(\Bbb{R})$ nin $J-$semisimple olması?

Sorunun hepsini basliga yazmak zorunda degilsin ki :) Telefondan girdigin icin "Sorunuz icin daha fazla bilgi :" kismini gormuyor olabilir misin? Cunku o kisimda sinirlama yok . Ben 300 karakterden fazla sorular sordum daha once.

Yok telefondan girmiyorum soruları yazarken. Belirttiğinz yeride hiç anlamamıştım.

0 beğenilme 0 beğenilmeme
7, Nisan, 2015 Sercan (23,338 puan) tarafından  cevaplandı
0 beğenilme 0 beğenilmeme

$I_t$'nin disindan bir $g$ fonksiyonu alalim: yani $g(t) = c \neq 0$. Amacimiz $\left<I_t, g\right>$ idealinin butun halkaya esit oldugunu gostermek.

Simdi $$\tilde{g}(x) = g(x) - c$$ fonksiyonunu dusunelim. Bu fonksiyon $t$'de sifirlanir: $$\tilde{g}(t)=g(t) - c = g(t) - g(t) = 0$$.

Dolayisiyla $\tilde{g} \in I_t$. Demek ki $g - \tilde{g} \in \left<I_t, g\right>$. Yani, sabit $c$ fonksiyonu $\left< I_t, g\right>$ idealinde bulunuyor. Ama sabit $c$ fonksiyonu tersinir bir eleman. Demek ki $\left< I_t, g\right>$  halkamiza esit. Bu da $I_t$'nin maksimal oldugunu gosterir.

7, Nisan, 2015 Ozgur (2,128 puan) tarafından  cevaplandı

Gec kalmisim :(

Hızır olmalıymış hocam adın, yoksa Şafak hocam bana çözdürecekti bunu :)

Aslında neden aklıma gelmedi de kendim çözdüm ki?

...