$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ sürekli olsun: $f$ açık dönüşümdür $\Leftrightarrow\ \ f$ nin yerel ekstremumu yoktur Doğru mu?

Question

 $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ sürekli olsun:

$f$ açık dönüşümdür $\Leftrightarrow\ \ f$ nin yerel ekstremumu yoktur

Comments

Hocam acik donusum nedir? Acik kumeleri acik kumelere mi goturuyor? Ingilizcesini de merak ettim, ceviremedim de.

---

Evet Sercan dediğin gibi: açık kümeleri açık kümeler dönüştüren fonksiyon.

"Open mapping"

Answer 1

1) Eger yerel ekstremumu olursa o noktanin civarindan (o noktanin maksimum/minimumlugunu bozmayan) bir acik aralik aldigimizda (ki alabiliriz) bu araligin goruntusu acik olmaz.

2) Eger surekli bir fonksiyonun yerel ekstremumu yoksa (surekli olmasa da) fonksiyon monoton olur. Fakat acik kumenin goruntusunun acik olabilmesi icin surekli olmasina ihtiyacimiz var.

Birincinin ispatini monotonluga da baglayabiliriz. Eger uc tane nokta alirsak ve aradaki noktanin degeri diger ikisinden kucuk/buyuk ise iki uc noktayi iceren acik araligin goruntusu acik olmaz.