f, a da sürekli ve g, f(a) da sürekli olduğunda g∘f nin a da sürekli olduğunu gösterelim:
(T(f), f nin tanım kümesini göstersin)
Bir ε>0 sayısı verilsin. g, f(a) da sürekli olduğundan,
|y−f(a)|<γ ve y∈T(g) olduğunda |g(y)−g(f(a))<ε (*)
olacak şekilde (en az) bir γ>0 sayısı vardır. f, a da sürekli olduğundan,
|x−a|<δ ve x∈T(f) olduğunda |f(x)−f(a)|<γ (**)
olacak şekilde en bir δ>0 sayısı vardır. Şimdi de
|x−a|<δ ve x∈T(g∘f) olduğunda |g(f(x))−g(f(a))|<ε
olduğunu gösterelim.
|x−a|<δ (1) ve x∈T(g∘f) olsun. İkinci kabulden, x∈T(f) (2) ve f(x)∈T(g) (3) olur.
(1) , (3) ve (**) dan |f(x)−f(a)|<γ (4) olur.
(2) (4) ve * dan (y=f(x) olmak üzere) |g(f(x))−g(f(a))<ε olur.
Bu adımlar çok küçük (notasyon) değişiklikler ile metrik uzaylarda da aynı iddiayı ispatlar.