$f,g:R\to R$ ve $a\in R$ olmak uzere, $f$ ve $g$ fonksiyonlari $x=a$ noktasinda sürekli fonksiyonlar olsun. $f o g$ ya da $g o f$ fonksiyonlari da her zaman icin sürekli olabilir mi?

1 beğenilme 0 beğenilmeme
65 kez görüntülendi


26, Mayıs, 2016 Orta Öğretim Matematik kategorisinde Emel (582 puan) tarafından  soruldu

ipucu, $x=a$ noktasında türevlenebilir olduğu gösterilirse süreklilikleri ispatlanır.

Turevlenebilir olmayabilirler. 

hani sureklı olan keskin noktalarda türev alamıyoruz ya, geometrık olmadan bunu nasıl gösterebiliriz, 
image
şekildeki $x=-1$ noktası mesela...

Fonksiyonu bilmek gerekir, turev zaten geometri.

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

HATALI CEVAP

Tanım(noktasal süreklilik): $\emptyset\neq A\subseteq \mathbb R$  $f:A\to \mathbb R$ fonksiyon ve $a\in A$ olmak üzere


$$f,a\text{'da sürekli}$$

$$\Leftrightarrow$$

$$(\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x\in A)(|x-a|<\delta \rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon)$$

Dolayısıyla $f$ ve $g$ fonksiyonları bu şarta uyuyor peki $f(g(x))$   ve   $g(f(x))$ ler?

$$(f\circ g),a\text{'da sürekli}$$

$$\Leftrightarrow$$

$$(\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x\in R)(\forall g(x)\in R)(|g(x)-a|<\delta \rightarrow |f(g(x))-f(g(a))|<\epsilon)$$

VE

$$(g\circ f),a\text{'da sürekli}$$

$$\Leftrightarrow$$

$$(\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x\in R)(\forall f(x)\in R)(|f(x)-a|<\delta \rightarrow |g(f(x))-g(f(a))|<\epsilon)$$

olduğundan $f\circ g(x)$   ve   $g\circ f(x)$  fonksiyonları da her zaman süreklidir.

26, Mayıs, 2016 Anıl (6,694 puan) tarafından  cevaplandı
Tesekkurler, eline saglik :)

Bu doğru değil. $g\circ f$ ve $f\circ g$, $a$ tanımlı bile olmayabilir.

Birincide ($g\circ f$ durumu) $g$ nin $a$ da değil, $f(a)$ da sürekli olup olmadığı önemli.

İkincide ($f\circ g$ durumu) $f$ nin $a$ da değil, $g(a)$ da sürekli olup olmadığı önemli.

Cevap nerede?

hocam peki bu tanımlama şeklinden , bu soruyu ispatlayabilir veya çürütebilir miyiz? biraz ipucu verir misiniz .

$f(x)=\lfloor x\rfloor$ (tam değer fonksiyonu) $g(x)=x^2,\ a=\sqrt2$ olsun.

$f\circ g,\ a$ da sürekli değil (Ama $f$ ve $g$, $a$ da sürekli)

"$g\circ f$ ve $f\circ g$, $a$ tanımlı bile olmayabilir." bu basli basina curutmek icin bir cevap.

Doğan hocam tamdeğer fonksiyonunu nasıl alıyoruz ? $R $ de sürekli değilki.

Soru $a$ noktasinda diyor.

anladım, pekı nasıl ıspatlayacagız? böyle bir şey hakkında yorum yapmak olanaksız mı?

Ters ornek verdi Dogan hoca? yani dogru degil. 

Başka bir yöntem ile ,emel'in sordugu soruyu nasıl yaparız dedım zaten.

pardon pardn pardon , tamamdır ters ornek tum soruyu curuttu zaten. herkesın elıne saglık :)

Doğru olan (soru ile ilgili) bir önerme:

$f,\ a$ da sürekli ve $g,\ f(a)$ da sürekli ise $g\circ f,\ a$ da süreklidir.

(İspatlayın!)

$$f,a\text{'da sürekli}$$$$\Leftrightarrow$$$$\underbrace{(\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x\in A)(|x-a|<\delta \rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon)}_{p}$$$$ve$$$$g,f(a)\text{'da sürekli}$$$$\underbrace{(\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x\in A)(|x-f(a)|<\delta \rightarrow |g(x)-g(f(a))|<\epsilon)}_{q}$$$$ve$$$$\underbrace{g\circ f\text{, a da süreklidir}}_{u}$$$$olduğundan$$$$\boxed{(p\wedge q) \Rightarrow u}$$

buraya kadar yaptıklarımı ben de tam kavrayamadım.
$---------------------------------$
2.yaklaşım;

$g(f(x))$  $a$ da sürekliyse,

$\lim\limits_{x \to a^+}g(f(x))=\lim\limits_{x \to a^-}g(f(x))=L$ $\Longrightarrow$  $\lim\limits_{x \to a}g(f(x))=L$ 
$$\vee$$

$\lim\limits_{x \to a}g(f(x))=L=g(f(a))$  $\Longrightarrow$   $g\circ f$ fonksiyonu $a$ da süreklidir deriz.

$g(f(x))$  $a$ da sürekliyse $g(f(a))$ var olmalı dolayısıyla $f(a)$ ,$g$ fonksiyonunda tanımlı olmalı ve  $\lim\limits_{x\to f(a)^+}g(x)=\lim\limits_{x\to f(a)^-}g(x)=L$ olarak limit bulunmalı, bu da  $g$ fonksiyonunun,$f(a)$ da sürekli olması demek ,$g$ fonksiyonunun,$f(a)$ da sürekli olması, $f(a)$ nın var olması demek $f(a)=k(k\in \mathbb R)$ olması demektir.

Biz bunun fazlasını var saymıştık , $f(a)$ nın var olması ve $g$ fonksiyonunun $f(a)$ da sürekli olması , $g\circ f$ 'in $a$ noktasındaki sürekliliğini garantilemeye yeterken $f$ $a$ da süreklidir demiştik $f$  $a$ da sürekliyse $f(a)$ tanımlı olmalı dolayısıyla önerme ispatlanmış olur.$\Box$

10kere sildim baştan yazdım gene tatmin olamadım ama umarım birşeyler ögrenirim :)

2 beğenilme 0 beğenilmeme

$f,\ a$ da sürekli ve $g,\ f(a)$ da sürekli olduğunda $g\circ f$ nin $a$ da sürekli olduğunu gösterelim:

($T(f),\ f$ nin tanım kümesini göstersin)

Bir $\varepsilon>0$ sayısı verilsin. $g,\ f(a)$ da sürekli olduğundan,

$|y-f(a)|<\gamma$ ve $y\in T(g)$ olduğunda $|g(y)-g(f(a))<\varepsilon$ (*)

olacak şekilde (en az) bir $\gamma>0$ sayısı vardır. $f,\ a$ da sürekli olduğundan,

$|x-a|<\delta$ ve $x\in T(f)$ olduğunda $|f(x)-f(a)|<\gamma$  (**)

olacak şekilde en bir $\delta>0$ sayısı vardır. Şimdi de 

$|x-a|<\delta$ ve $x\in T(g\circ f)$ olduğunda $|g(f(x))-g(f(a))|<\varepsilon$

olduğunu gösterelim.

$|x-a|<\delta\ (1)$ ve $x\in T(g\circ f)$ olsun. İkinci kabulden, $x\in T(f)\ (2)$ ve $f(x)\in T(g)\ (3)$ olur.

(1) , (3) ve (**) dan $|f(x)-f(a)|<\gamma\ (4)$ olur.

(2) (4) ve * dan ($y=f(x)$ olmak üzere)  $|g(f(x))-g(f(a))<\varepsilon$ olur.

Bu adımlar çok küçük (notasyon) değişiklikler ile metrik uzaylarda da aynı iddiayı ispatlar.

26, Mayıs, 2016 DoganDonmez (3,302 puan) tarafından  cevaplandı
...