Question

$M_{2}(\Bbb{R})$ matris halkasının eş kare elemanları nelerdir?

Comments

es kare eleman ne demek? ya da ingilizcesi ne ola ki?

---

<p>
     Idempotent eleman Özgür bey. 
</p>

---

cevaptan yoruma çevirdim.

---

cepten yazınca yorum yapılamıyor. Direk cevap kısmı çıkıyor. 

Answer 1

$A^2=A$ seklinde olacak matrisleri ariyoruz.

1) $\det A=(\det A)^2$ olacagindan $\det A=0$ ya da $\det A=1$ olabilir.
2) $A^2-A=0$ oldugundam, minimal polinomu $x^2-x$'yi  ($x$ ya da $x-1$ degilse, yani sifir ya da birim matris degil ise), kokler farkli oldugundan ve derece $2$ oldugundan minimal polinomu ve karakteristik polinomu esit olmali, ayrica kokler farkli oldugundan diagonal matrise de cevrilebilinir.
3) $B$ bu tarz bi matris olsun, o zaman bi adet tersinir $P$ vardir ki $diag(0,1)=P^{-1}BP$ olmali. (Not olarak: Artik $\det A$ sadece $0$ olabilir.
4) Demek ki $P diag(0,1)P^{-1}$ olan matrislerinlir hepsi bu sarti saglar ($P$ haliyle tersinir) ve hepsi bu sekilde yazilir.

Comments

Farklı bir bakış. Teşekkür ediyorum.

Answer 2

Sercan'in cevabi benimkinden daha guzel, ama ben baska bir sey soylemek istiyorum.

Duzlemde herhangi bir $L$ dogrusu alalim. $P_L : \mathbb{R}^2 \to L$ izdusum fonksiyonu olsun. O zaman, $P_L$'nin matrisi eskaredir. Zira, izdusumu iki kere uygulamamakla bir kere uygulamak arasinda fark yok.

Simdi,  $p \in \mathbb{R^2}$ duzlemde bir nokta olsun ve $A$ eskare bir matris olsun. O zaman, iki ihtimal var. Birinci ihtimal $Ap = 0$ olmasi. Bu durumda $p \in null(A)$ olur. Ve $p$ noktasi, ozdegeri $0$ olan bir ozvektor olur. Ikinci ihtimal $Ap = b \neq 0$ olmasi. Bu durumda da $b= Ap = A^2p = A(Ap) = Ab$ olur. Yani, $b$ noktasi, ozdegeri $1$ olan bir ozvektordur. Yani $A$'nin goruntu kumesi (ya da kolon uzayi (column space)), $A$'nin $1$-ozuzayina esittir. Bu da sunu soyluyor: eger $A$ matrisi birim matris ya da 0 matrisi degilse , o zaman $0$-ozuzayi da $1$-ozuzayi da bir boyutlu olmali. $1$-ozuzayi $v$ vektoru ile gerilen $L$ dogrusu olsun. O zaman, $A$ matrisi, $L$ dogrusuna izdusum matrisidir.