$M_{2}(\Bbb{R})$ halkasının basit olduğunu gösteriniz.

Question

$M_{2}(\Bbb{R})=\left\{\left(   \begin{array}{cc} a  & b \\    c & d \\   \end{array} \right)\mid a,b,c,d\in \Bbb{R}\right\}$ matris halkasıdır.

Answer 1

Daha genel olarak:

Sav: $R$ bir halka olsun. $M_n(R)$ halkasinin iki tarafli ideali $R$ halkasinin iki tarafli ideali $I$ ile biricik sekilde $M_n(I)$ olarak yazilabilir.

Ispat: $I$ ideali $R$ halkasinin iki tarafli ideali oldugundan $M_n(I)$ kumesi $M_n(R)$ kumesinin iki tarafli ideali olur. 

Diger taraftan $J$ ideali $M_n(R)$ halkasinin iki tarafli bir ideali olsun. $I$ kumesi $J$ halkasindaki matrislerin ilk girdilerini iceren kume olsun. Bu dogal olarak iki tarafli bir ideal. 

$E_{i,j}$ sadece $(i,j)$ girdisi $1$ olan ve digerleri sifir olan matris olsun. Bu durumda tum $A=(a_{i,j}) \in M_n(R)$ icin  $$E_{i,j}AE_{k,l}=a_{j,k}E_{i,l}.$$ Yani eger $A \in J$ ise  $$a_{i,j}E_{1,1}=E_{1,i}AE_{j,1}$$ esitliginden $a_{i,j} \in I$ olur. Bu da $J \subset M_n(I)$ oldugunu soyler.

$r \in I$ olsun. Taniminda dolayi bir adet $A=(a_{i,j}) \in J$ matrisi icin $r=a_{1,1}$. $$rE_{i,j}=E_{i,1}AE_{1,j} \in J$$ oldugundan $B=(b_{i,j}) \in M_n(I)$ matrisini $$\sum\limits_{i,j=1}^nb_{i,j}E_{i,j} \in J$$ olarak yazabiliriz.

Cikarimlar:
1) $R$ basit ise $M_n(R)$ de basittir.
2) $R$ bolum halkasi ise $M_n(R)$ basittir.
3) $R$ cisim ise $M_n(R)$ basittir.
4) $R=\mathbb R$ ve $n=2$ icin $M_2(\mathbb R)$ basittir.

Comments

Teşekkür ediyorum Sercan bey. Aynı zamanda aşagıdaki linkte yer alan soruya da cevap vermiş oldunuz.

http://www.matkafasi.com/19993/%24r%24-bir-cisimse-%24m_-r-halkasinin-butun-ideallerini-bulunuz

---

O zaman oraya da yazayım.