Asallar için kast ettiğin şekilde genel gösterim yoktur. $2k$ şeklindeki sayılar her $k\in \mathbb{N}$ için çifttir mesela ama asallar için genel gösterim diyebileceğimiz bir polinom yoktur. Kanıtı da çok zor değildir, biraz uğraşırsan çıkacaktır.
Ek olarak $2k-1$ şeklinde sonsuz tane asal sayı vardır, $4k+3$ tipinde sonsuz tane asal sayı vardır gibi küçük teoremleri kanıtlayabilirsin. Dirichlet aralarında asal $a,b$ sayıları için $an+b$ şeklinde sonsuz tane asal yazılabileceğini kanıtlamış. Elementer bir kanıtını bulup inceleyebilirsin, iyi çalışmalar. (Matematik Köyü'nde Haydar Göral elementer bir kanıtını verecek sanırım bu yaz, haberin olsun.)