Question

Tam olarak iki tane maksimal ideali olan değişmeli olmayan bir halka var mıdır?

Answer 1

$D$ değişmeli olmayan bir bölüm halkası olsun. Örneğin $D$ yi quaterniyonlar halkası olarak alabiliriz.
$R=D\times D$ değişmeli olmayan bir hakadır ve bu halkanın yegane maksimal idealleri $M_{1}=D\times \left\{ 0\right\}$ ve $M_{2}=\left\{ 0\right\}\times D$ dir.
$i=1,2$ için $D\times D/M_{i}\cong D$ olduğu dikkate alınacak olursa  $M_{i}$ bir maksimal idealdir.
$M$ bir maksimal ideal olsun.  $M\neq M_{1}$ olduğunu varsayalım. Bu durumda $e=\left(1,0\right) \notin M$ dir. Aksi halde
$M_{1}=D\times \left\{ 0\right\}=R\cdot \left( 1,0\right) \subset M$ olur. Bu ise, $M$ maximal olduğundan  $M_{1}=M$ olması demektir.  O halde $M+\left\langle e\right\rangle=R$ dir. Bu nedenle bir takım $x,y,x_{j},y_{j},r_{j},s_{j}\in D$, $j=1,...,m$ için $\left( x,y\right) \in M$ ve
$$\left( x,y\right) +\sum\limits_{j=1}^{m}\left( x_{j},y_{j}\right) \left( 1,0\right) \left( r_{j},s_{j}\right) =\left( 1,1\right)$$
olur. O halde $y=1$ ve dolayısıyla  $\left( x,1\right) \in M$ dir. $x \neq 0$ olamaz.
Aksi halde  $\left( 1,1\right) =\left( x^{-1},1\right)\left( x,1\right) \in M$  ve dolayısıyla $M=R$ olur. Bu ise $M$ nin
maksimal ideal olması ile çelişir.  O halde $\left( 0,1\right) \in M$ dir. Böylece $M_{2}=\left\{ 0\right\} \times D=R\cdot \left( 0,1\right) \subset M$ ve dolayısıyla  $M_{2}=M$ elde edilir.