$\left( a_{n}\right) =\left( \dfrac {an+b} {cn+d}\right) $ monotonluk testi

Question

$\left( a_{n}\right) =\left( \dfrac {an+b} {cn+d}\right) $ dizisinin monotonluk durumu aşağıdaki şekilde olmasını kanıtlayınız.

1. Paydanın kökü (cn+d=0 denkleminin kökü) 1den küçük ise dizi monotondur ve

$\begin{align*} & ad-bc>0\end{align*} $ için dizi monoton artan

$\begin{align*} ad-bc < 0\end{align*} $ için dizi monoton azalan

$\begin{align*} & ad-bc=0\end{align*} $ için dizi sabittir

2.Paydanın kökü (cn+d=0 denkleminin kökü) dizi monoton degildir.

dipçe: taramalı tüfekle sinek öldürmek, denizaltıyla sazan avlamak serbest.

Comments

$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ kuralı ile verilen $f:\mathbb{R}\setminus\left\{-\frac{d}{c}\right\}\to\mathbb{R}$ fonksiyonunun grafiğini düşünün.

---

<p> İspatı Türev'li mi Türev'siz mi istiyorsunuz...
</p>

---

hepsi olur 2sinide alabilirsek ne ala:)

---

Türevli ispat..

---

Diğer ispatta da $a_{n+1}-a_n$ in sonucunun köklerini tablo ile inceleyip işaret değişimine bakmalısınız, o daha fazla yorum isteyen bir ispattır, tablo yaparak görebilirsiniz...

---

evet o an ne düşünüyorum bilmiyorum keşke türev alsaydım:) teşekkürler peki bunu türevsiz nasıl çözeriz

---

Fotograf yerine LaTex kodu ile cevap paylasmak gerekir?

---

Sercan Hocam haklısınız ama zaman sorunum olduğu için yazmakta zorlanıyorum, faydalı olmaya çalışıyorum zaman bulduğumda fotoğrafları silip Latex koduna cevirmeye çalışıyorum...

---

Diğer ispatı üst cevapta açıkladım...

---

Iki soru cevaplayacagimiza bir soru cevaplariz ya da yorum olarak foto paylasip ilerde baskalarinin LaTex ile cevap vermesini bekleyebiliriz. Benim kisisel gorusum bu sekilde. 


Bir ust cevap da yorum olmali, cevap degil cunku.

---

$a_n-\frac ac$'yi inceleyebilirsin.

---

anladım teşekkür ederim sercan bey ve murad.ozkoc bey

---

Ne ara anladin, masallah :) saniyeler.. 

---

murad hocanın dedıgını hesapladım anladım tam yazdım 16sanıye farkla sız yazmışsınız sızıde mecbur anlamak zorunda kaldım:)

---

$f(n)=\frac{an+b}{cn+d}$ kuralı ile verilen $f$ fonksiyonunun tanım kümesi doğal sayılar kümesi olduğundan türev alamazsınız. Türev almanın bazı koşulları vardır. Buradaki linki de inceleyebilirsiniz.

---

Sercan Hocam kişisel görüşünüzü paylaştığınız için teşekkür ederim haklısınızda, fakat tarzınızda küçük ego kırıntıları var,diğer açıklamamda elbette  yukarıdaki yorumu kastediyorum. Şahsen  sizinle karşılaştığım paylaşımlarda incindiğimi söyleyebilirim...

---

Ego mu? Tesekkurler. 

---

murad.ozkoc Hocam an bir dizi olduğu için haklısınız fakat fonksiyonu reel sayılarda f(n) şeklinde ifade ederek aslında fonksiyonun genel yapısının artanlık ve azalanlığının görülebileceğini ifade etmeye çalıştım ama tanım kümesinin doğal sayı olması durumun elbette türev tanımlı değil. Diğer açıklamamda dediğim gibi a_(n+1)-a_n'in kök incelemesi daha doğru olur...

---

Katılıyorum.

Answer 1

ilk olarak ardisik iki terim farkina bakalim: $$a_{n+1}-a_{n}=\frac{a(n+1)+b}{c(n+1)+d}-\frac{an+b}{cn+d}=\frac{ad-bc}{(cn+d)(c(n+1)+d)}$$ olur.

Verilen sartlara gore:

1) $a_{n+1}-a_n>0$ olur.
2) $a_{n+1}-a_n<0$ olur.
3) $a_{n+1}-a_n=0$ olur.

Bunlar da bize istenen sonuclari verir.

Comments

teşekkurler hocam . inceledımde teşekkür etmeyi unutmuşum

---

Bende teşekkür ederim...

Answer 2

Yukarıda murad.ozkoc hocanın yaptığı yorumdan hareketle, $f:\mathbb{R} \setminus \left\{\frac{-d}{c}\right\}\to\mathbb{R}$ fonksiyonu $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ kuralı ile verilsin. Bu fonksiyonun türevini alalım.

$f'(x)=\frac{a(cx+d)-(ax+b).c}{(cx+d)^2}=\frac{ad-bc}{(cx+d)^2}>0$ ise fonksiyon artan  ve dolayısıyla verilen dizi monoton artan olur. Bu da son ifadenin paydası daima pozitif olduğundan $ad-bc>0$ olması ile mümkündür.

 Aynı şekilde $f'(x)=\frac{a(cx+d)-(ax+b).c}{(cx+d)^2}=\frac{ad-bc}{(cx+d)^2}<0$ ise fonksiyon azalan ve verilen dizi monoton azalandır. Bu ise $ad-bc<0$ ile mümkündür. 

Son olarak fonksiyonun ve dolayısıyla dizinin sabit olaması için $ad-bc=0$  olmalıdır.

Comments

Teşekkürler Metok Hocam, böyle çok daha açıklayıcı oldu. 

Yukarıda Latex yerine fotoğraf kullandığım için oluşan çirkin görüntüden dolayı özür dilerim...

---

teşekkürler çözümler ve emekleriniz için

---

Sayın temelgokce hocam, sizinde emeklerinize sağlık. Ben çözene kadar atı alan Üsküdara geçmiş bile. Çözümden sonra yukarıdaki yorumları görünce şaşırdım. Eğer önceden görseydim belkide çözmezdim. Neyse, bol çözümlü ve yorumlu bir soru oldu. Herkesin emeğine ve beynine sağlık.