Question

Yalnızca sonlu sayıda altgrupları olan sonsuz bir grup var mıdır?

Answer 1

Böyle bir $G$ grubu olamaz. Öncelikle mertebesi sonsuz olan bir eleman olmadığını gösterelim. Eğer $a\in G$ mertebesi sonlu olmayan bir eleman ise $<a>\simeq \mathbb{Z}$ olur ve $\mathbb{Z}$'nin sonsuz sayıda altgrubu vardır. O halde $G$ grubunun her elemanının mertebesi sonludur. O halde $$x_{n+1}\notin <x_n>$$ şartını sağlayan $x_1,x_2,\cdots$ gibi bir dizi eleman bulabiliriz çünkü $G$ sonsuz ve her dongusel altgrup sonlu. Bu elemanların urettikleri altgrupların hepsi birbirinden farklıdır. Sonsuz çoklukta altgrup bulduk.