Yalnızca sonlu sayıda altgrupları olan sonsuz bir grup var mıdır?

0 beğenilme 0 beğenilmeme
103 kez görüntülendi


31, Mart, 2015 Akademik Matematik kategorisinde Handan (1,511 puan) tarafından  soruldu

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Böyle bir $G$ grubu olamaz. Öncelikle mertebesi sonsuz olan bir eleman olmadığını gösterelim. Eğer $a\in G$ mertebesi sonlu olmayan bir eleman ise $<a>\simeq \mathbb{Z}$ olur ve $\mathbb{Z}$'nin sonsuz sayıda altgrubu vardır. O halde $G$ grubunun her elemanının mertebesi sonludur. O halde $$x_{n+1}\notin <x_n>$$ şartını sağlayan $x_1,x_2,\cdots$ gibi bir dizi eleman bulabiliriz çünkü $G$ sonsuz ve her dongusel altgrup sonlu. Bu elemanların urettikleri altgrupların hepsi birbirinden farklıdır. Sonsuz çoklukta altgrup bulduk.

31, Mart, 2015 Safak Ozden (3,403 puan) tarafından  cevaplandı
31, Mart, 2015 Safak Ozden tarafından düzenlendi
...