Bu soru altındaki yanıtlarda Grassmann varyetesini anlamaya yarayacak çeşitli tanımları vermenin yanında, cebirsel geometrideki çeşitli teoremlerin örneklerini de vermeye çalışacağım. Bu biraz zaman alabilir zira ben de Grassmann varyetelerini hiç bilmiyorum. Soruyu sorup yanıtlamaya çalışmamın nedeni de bu temel örnek varyeteleri anlamak. Bir kitap açıp tanıma bakarak başlayacağım. Aklıma gelen soruları da ispatlaya ispatlaya gitmeye çalışacağım. Umarım okuyup, yolun yol değil, şunu şöyle yapmalıydın diyen birileri çıkar.
Özel tanımla başlayayım (neden özel dediğime daha sonra döneceğim- $S$-şemalarına gelince):
Bu yanıt boyunca $F$ bir cisim olsun. $F$ üzerine bir Grassmann varyetesi tanım gereği iki sayı ile belirlenir: $k\leq n$.
Bu iki sayı ile belirlenen Grassmann varyetesi $G(k,n)(F)$ ile gösterilir ve $F^n$ içindeki $k$-yüzeyler Grassmann'ı olarak adlandırılır. Tanım da şu şekildedir: $$G(k,n)(F)=\{V\leq F^n|\dim V=k\}$$
İlk gözlem: $F^n$ vektör uzayının elemanlarını sütun matrisler olarak görürsek $Mat_{n\times n}(F)$ matrisler $F^n$'ye etki eder. Tabii ki $M\in Mat_{n\times n}(F)$ matrisi tersinir değilse en azından bir tane $v$ vektörünü sıfıra götürecektir. Eğer $v$ vektörünü içeren $k$ boyutlu bir $V$ altuzayı alırsak açık ki $A\cdot V$ altuzayının boyutu $k$'dan küçük olacaktır. Sonuç olarak $$A\cdot G(k,n)(F^n)\nsubseteq G(k,n)(F^n)$$ Aksi durumda, yani $A$ matrisinin tersinir olduğu durumda şu eşitliği göstermek de çok kolay olacaktır: $$A\cdot G(k,n)(F^n)=G(k,n)(F^n)$$ Yani $GL_n(F)$ grubu $G(k,n)(F^n)$ üzerine etki eder.
Soru: Bu etkinin çekirdeği nedir? Elemanların orbitleri nelerdir? Geçişli bir etki midir (transitive action)?
Yanıt:
1- Geçişli etki: Boyutu $k$ olan $V,W$ gibi birer altuzay alalım. $v_1,\cdots,v_k$ vektörleri $V$ için $w_1,\cdots,w_k$ vektörleri $W$ için birer baz olsunlar ve $v_{k+1},\cdots,v_n$ vektörleri $V$'nin bazını, $w_{k+1},\cdots,w_n$ vektörleri $W$'nun bazını $F^n$'nin birer bazına tamamlayan vektörler olsun. Bu durumda $v_i\longmapsto w_i$ biçiminde tanımlanmış lineer fonksiyon tersinirdir ve $V$ uzayını $W$ uzayına taşır. Yani $G(k,n)(F^n)$ üzerindeki $GL_n(F)$ etkisi geçişli bir etkidir.
2- Çekirdek: Bu sorunun yanıtı $k$'ya göre değişecek gibi. Eğer $k=n$ ise ortada bir etki olmaz zira $n$ boyutlu bir tane altuzay var: $F^n$. Hangi tersinir $a$ lineer operatörünü alırsak alalım $$A\cdot V=V$$ eşitliği sağlanacaktır çünkü $V=F^n$. Eğer $k=0$ alırsak çekirdek yine aynı kalacak çünkü $\dim V=0$ olan altuzay sayısı da $1$. Sonuç, bu iki durumda da çekirdeğin $GL_n(F^n)$'in tamamı olduğudur. Şimdi $k=1<n$ durumuna bakalım. $A\neq I_n$ biçiminde bir matris alalım ve bu matrisin hangi şartlar altında çekirdekte olabileceğini inceleyelim. Eğer $v\neq 0$ ise $F\cdot v$ tek boyutlu bir uzaydır ve $A$ çekirdekte ise $A\cdot v\in F\cdot v$ olmalı. Yani $v$ vektörü $A$ matrisinin bir öz-vektörü olmalı. Ama bu her $v\neq 0$ için doğru. O halde $F^n$ uzayının tamamı $A$ matrisinin özvektörlerinden oluşuyor. Bu demektir ki $A$ skalar bir matris olmak zorunda. Açık ki skaler matrisler çekirdeğin içinde olacaklardır. Peki bu durum $0< k< n$ şartını sağlayan her $k$ için geçerli mi? İnceleyelim.
Bir önceki durumda olduğu gibi $A\neq I_n$ biçiminde bir matris alalım ve bu matrisin hangi şartlar altında çekirdekte olabileceğini inceleyelim. Yine bir tane $v_1\neq 0$ vektörü alalım ve buradan devam edelim. Elbette $v_1$ vektörünü içeren $k$ boyutlu bir altuzay bulabiliriz. Böyle bir $V$ altuzayı alalım. Eğer $A$ çekirdekteyse $A\cdot V=V$ olmalı. Özel olarak $v_2:=A\cdot v_1\in V$ olmalı. Aynı nedenle $$v_{i+1}:=A\cdot v_i\in V$$ olmalı. Bu nedenle öyle bir $i$ vardır ki $$v_{i+1}\in Span(v_1,\cdots,v_i)$$ olur. Bu şartı sağlayan en küçük indeks $r$ olsun. Elbette $r\leq k$ olmalı. $A$ tersini olduğu için ve $r$ minimal olduğu için $\{v_1,\cdots v_r\}$ doğrusal olarak bağımsız bir kümedir. Bu kümeye $w_{r+1},\cdots,w_k$ vektörlerini ekleyerek bu kümeyi $V$'nin bir bazına tamamlayalım ve nihayet $z\notin V$ olan bir eleman alıp şu altuzaya bakalım $$W=Span(v_1,\cdots,v_{r-1},z,w_{r+1},\cdots, w_n)$$ Eğer $A$ çekirdekteyse indeks $r$'nin tanımı gereği $W$ uzayının görüntüsü $W$ uzayına eşit olamaz çünkü görüntüsü $A\cdot W$'da olmayan $v_r$ vektörünü içeriyor. $v_r$ vektörünün görüntüde olmaması $\{v_1,\cdots,v_r,w_{r+1},\cdots w_n,z\}$ kümesinin doğrusal bağımsız olmasından ve $A\cdot V=V$ eşitliğinden çıkar. Ama bu bir çelişki. Demek ki $r=1$ olmalı. Yani $v_1$ bir özvektör olmalı. Burada $r=1$ olmalı sonucu el çabukluğuyla çıkmış gibi gözükse de, aslında öyle değil. Çelişkiye neden olan şey $v_r$'nin görüntüde olması yani $v_1$'in $W$'de olması.
Şimdilik bu kadar. En basit tanım neymiş onu anladık ve $GL_n$ etkisinin geçişli olduğunu ve bu etkinin çekirdeğinin skaler matrisler olduğunu gördük. Skaler matrisler $GL_n$'in merkezi olduğu için şu sonuca da ulaşmış olduk. Grassman varyeteleri üzerinde $PGL_n$ grubunun geçişli ve sadık bir etkisi vardır.
Şu soruyu da not edeyim. Biz bunlara varyete diyoruz, bunlar bizim bildiğimiz anlamda varyete mi gerçekten?