Bu soru altındaki yanıtlarda Grassmann varyetesini anlamaya yarayacak çeşitli tanımları vermenin yanında, cebirsel geometrideki çeşitli teoremlerin örneklerini de vermeye çalışacağım. Bu biraz zaman alabilir zira ben de Grassmann varyetelerini hiç bilmiyorum. Soruyu sorup yanıtlamaya çalışmamın nedeni de bu temel örnek varyeteleri anlamak. Bir kitap açıp tanıma bakarak başlayacağım. Aklıma gelen soruları da ispatlaya ispatlaya gitmeye çalışacağım. Umarım okuyup, yolun yol değil, şunu şöyle yapmalıydın diyen birileri çıkar.
Özel tanımla başlayayım (neden özel dediğime daha sonra döneceğim- S-şemalarına gelince):
Bu yanıt boyunca F bir cisim olsun. F üzerine bir Grassmann varyetesi tanım gereği iki sayı ile belirlenir: k≤n.
Bu iki sayı ile belirlenen Grassmann varyetesi G(k,n)(F) ile gösterilir ve Fn içindeki k-yüzeyler Grassmann'ı olarak adlandırılır. Tanım da şu şekildedir: G(k,n)(F)={V≤Fn|dimV=k}
İlk gözlem: Fn vektör uzayının elemanlarını sütun matrisler olarak görürsek Matn×n(F) matrisler Fn'ye etki eder. Tabii ki M∈Matn×n(F) matrisi tersinir değilse en azından bir tane v vektörünü sıfıra götürecektir. Eğer v vektörünü içeren k boyutlu bir V altuzayı alırsak açık ki A⋅V altuzayının boyutu k'dan küçük olacaktır. Sonuç olarak A⋅G(k,n)(Fn)⊈G(k,n)(Fn) Aksi durumda, yani A matrisinin tersinir olduğu durumda şu eşitliği göstermek de çok kolay olacaktır: A⋅G(k,n)(Fn)=G(k,n)(Fn) Yani GLn(F) grubu G(k,n)(Fn) üzerine etki eder.
Soru: Bu etkinin çekirdeği nedir? Elemanların orbitleri nelerdir? Geçişli bir etki midir (transitive action)?
Yanıt:
1- Geçişli etki: Boyutu k olan V,W gibi birer altuzay alalım. v1,⋯,vk vektörleri V için w1,⋯,wk vektörleri W için birer baz olsunlar ve vk+1,⋯,vn vektörleri V'nin bazını, wk+1,⋯,wn vektörleri W'nun bazını Fn'nin birer bazına tamamlayan vektörler olsun. Bu durumda vi⟼wi biçiminde tanımlanmış lineer fonksiyon tersinirdir ve V uzayını W uzayına taşır. Yani G(k,n)(Fn) üzerindeki GLn(F) etkisi geçişli bir etkidir.
2- Çekirdek: Bu sorunun yanıtı k'ya göre değişecek gibi. Eğer k=n ise ortada bir etki olmaz zira n boyutlu bir tane altuzay var: Fn. Hangi tersinir a lineer operatörünü alırsak alalım A⋅V=V eşitliği sağlanacaktır çünkü V=Fn. Eğer k=0 alırsak çekirdek yine aynı kalacak çünkü dimV=0 olan altuzay sayısı da 1. Sonuç, bu iki durumda da çekirdeğin GLn(Fn)'in tamamı olduğudur. Şimdi k=1<n durumuna bakalım. A≠In biçiminde bir matris alalım ve bu matrisin hangi şartlar altında çekirdekte olabileceğini inceleyelim. Eğer v≠0 ise F⋅v tek boyutlu bir uzaydır ve A çekirdekte ise A⋅v∈F⋅v olmalı. Yani v vektörü A matrisinin bir öz-vektörü olmalı. Ama bu her v≠0 için doğru. O halde Fn uzayının tamamı A matrisinin özvektörlerinden oluşuyor. Bu demektir ki A skalar bir matris olmak zorunda. Açık ki skaler matrisler çekirdeğin içinde olacaklardır. Peki bu durum 0<k<n şartını sağlayan her k için geçerli mi? İnceleyelim.
Bir önceki durumda olduğu gibi A≠In biçiminde bir matris alalım ve bu matrisin hangi şartlar altında çekirdekte olabileceğini inceleyelim. Yine bir tane v1≠0 vektörü alalım ve buradan devam edelim. Elbette v1 vektörünü içeren k boyutlu bir altuzay bulabiliriz. Böyle bir V altuzayı alalım. Eğer A çekirdekteyse A⋅V=V olmalı. Özel olarak v2:=A⋅v1∈V olmalı. Aynı nedenle vi+1:=A⋅vi∈V olmalı. Bu nedenle öyle bir i vardır ki vi+1∈Span(v1,⋯,vi) olur. Bu şartı sağlayan en küçük indeks r olsun. Elbette r≤k olmalı. A tersini olduğu için ve r minimal olduğu için {v1,⋯vr} doğrusal olarak bağımsız bir kümedir. Bu kümeye wr+1,⋯,wk vektörlerini ekleyerek bu kümeyi V'nin bir bazına tamamlayalım ve nihayet z∉V olan bir eleman alıp şu altuzaya bakalım W=Span(v1,⋯,vr−1,z,wr+1,⋯,wn) Eğer A çekirdekteyse indeks r'nin tanımı gereği W uzayının görüntüsü W uzayına eşit olamaz çünkü görüntüsü A⋅W'da olmayan vr vektörünü içeriyor. vr vektörünün görüntüde olmaması {v1,⋯,vr,wr+1,⋯wn,z} kümesinin doğrusal bağımsız olmasından ve A⋅V=V eşitliğinden çıkar. Ama bu bir çelişki. Demek ki r=1 olmalı. Yani v1 bir özvektör olmalı. Burada r=1 olmalı sonucu el çabukluğuyla çıkmış gibi gözükse de, aslında öyle değil. Çelişkiye neden olan şey vr'nin görüntüde olması yani v1'in W'de olması.
Şimdilik bu kadar. En basit tanım neymiş onu anladık ve GLn etkisinin geçişli olduğunu ve bu etkinin çekirdeğinin skaler matrisler olduğunu gördük. Skaler matrisler GLn'in merkezi olduğu için şu sonuca da ulaşmış olduk. Grassman varyeteleri üzerinde PGLn grubunun geçişli ve sadık bir etkisi vardır.
Şu soruyu da not edeyim. Biz bunlara varyete diyoruz, bunlar bizim bildiğimiz anlamda varyete mi gerçekten?