$F$ bir cisim olsun. Tersinir matrislerin oluşturduğu $GL_n(F)$ matris grubunun merkezi nedir?

Question

Soruyu ortaöğretim olarak sordum. Ortaöğretim öğrencileri şu sorunun yanıtını düşünsünler.

Boyutu $n$ olan öyle bir $A$ matrisi bulun ki, hangi $B$ matrisini alırsak alalım $AB=BA$ olsun. Ben iki tane söyleyeyim. Tamemen sıfırlardan oluşan matris ve köşegeninde $1$ olan geri kalan her yerde sıfır olan matris.

Bu soruyu $2\times 2$ ve $3\times 3$ için denemeyle çözebilirsiniz. Genel durumu da aynı yöntemle çözebilirsiniz hatta.

İpucu: Her şeyle yerdeğiştiren bir matris, özel olarak elinizle seçtiğiniz matrislerle de yer değiştirebilmeli.

Comments

ben de genel bir onek vermek istiyorum: tamamini bulabilir miyim bilmiyorum: $A$ ile tum $f(A)$ degismelidir: $f$ illa polinom olmak zorunda degil, tersi varsa negatif tamsayi kuvvetleri de alabilir. hatta koku varsa $1/2$ gibi kuvvetleri de icerebilir.. en azindan polinom icin diyebiliriz..

---

Ne demek istediğini anlamadım hocam.

---

$f$ bir polinomsa $f(A)A=Af(A)$. Biraz da bunun benzeri seyler.

---

A matris mi yoksa genel bir fonksiyon mu demek istemiştim.

---

$n=2$ durumu için $A\in Z(GL_{2}(F))$ alalım. $B=\left(  \begin{array}{cc}1  & 1  \\ 1    & 0 \\ \end{array} \right)$ ve $C=\left(  \begin{array}{cc}1  & 1  \\0    & 1 \\ \end{array} \right)$ seçimleriyle daha kolay sonuca ulaşabiliriz. Peki cismin karakteristiğinin $p$ olması durumu genel halde (yani $n$ keyfi) merkezde bir değişikliğe sebebiyet verir mi?

---

Bir de tamamen sıfırlardan oluşan matris $GL_{n}(F)$ ye ait olmaz.

---

$A$ merkezdeyse ve $B = B_{ij}$ matrisi sadece $ij$'inci girdisi $1$, diğer girdileri $0$ olan matris ise $AB = BA$ eşitliği bize önemli bilgiler veriyor. Sanırım bu ipucuna ipucu.

Mesela $B= B_{11}$ ise $AB = BA$ eşitliği bize ilk kolon hakkında bilgi veriyor.