Kaç gerçel sayı ikilisi vardır?

0 beğenilme 0 beğenilmeme
62 kez görüntülendi

$x^4+y^4+2x^2y+2xy^2+2=x^2+y^2+2x+2y$ eşitliğini sağlayan kaç farklı $(x,y)$ gerçel sayı ikilisi vardır?

10, Şubat, 2016 Orta Öğretim Matematik kategorisinde sonelektrikbukucu (2,871 puan) tarafından  soruldu
Soruda oldukça ilerledim aslında, ama soruyu büyük oranda hallettiği için şimdilik yazmıyorum. Sorun şu ki ben cevabı $3$ buldum ama cevap anahtarı $4$ diyor.

https://www.wolframalpha.com/input/?lk=3&i=x%3D1-y%5E2,+y%3D1-x%5E2

Wofram-alpha da $4$ kök buldu ama o $4$. kökü "insan gözleriyle" nasıl görebiliriz?

Soruyu $x=1-y^2, y=1-x^2$indirgemissin galiba. Boyle ise $x-1+(1-x^2)^2=0$ gelecek Bunu da $x(x-1)$ parantezine alacaksin.  geriye ikinci dereceden bir polinom kalacak.

Ayrica ya diger iki kok de reel ya da saf karmasik olur. Yani cevap ya 2 ya 4 olur. 3 nasil buldun?

Hocam o indirgediğim fonksiyonları aynen wolfram-alphadaki gibi parabolünü çizdim fakat o $0,1$ ve $1,0$ noktaları arasındaki 4. kökü farkedemedim haliyle.

Hocam sorunun cozumunu ogrenebilir miyim , indirgeme islemini nasil yaptiniz?

Yukarıdaki denklemi $x^4+y^2+1+2(x^2y-x^2-y)+y^4+x^2+1+2(xy^2-y^2-x)=0$ şeklinde yazdıktan sonra $(x^2+y-1)^2+(y^2+x-1)^2=0$ olduğunu görebilirsin. Şu an yazınca kolay gibi görünüyor olabilir ama bunu görmem yarım saatimi aldı :)

Anladim hocam tesekkurler :)

Sercan hocam çok sağolun anladım. O halde cevabı yazıyorum cevapsız görünmesin :) @mrveoz ne demek rica ederim :)

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Denklemi $x^4+y+2+1+2(x^2y-x^2-y)+y^4+x^2+1+2(xy^2-y^2-x)=0$ şeklinde yazarsak $(x^2+y-1)^2+(y^2+x-1)^2=0$ olduğunu kolaylıkla görebiliriz. O halde $y=1-x^2$ ve $x=1-y^2$ olmalıdır. İkinci denklemde $x=1-(1-x^2)^2$ şeklinde yazarsak $x^4+2x^2+x=x(x-1)(x+\frac{1+\sqrt{5}}{2})(x+\frac{1-\sqrt{5}}{2})=0$ olacağından denklemi sağlayan $4$ farklı $(x,y)$ ikilisi vardır.

10, Şubat, 2016 sonelektrikbukucu (2,871 puan) tarafından  cevaplandı
...