$x^4+y^4+2x^2y+2xy^2+2=x^2+y^2+2x+2y$ eşitliğini sağlayan kaç farklı $(x,y)$ gerçel sayı ikilisi vardır?
https://www.wolframalpha.com/input/?lk=3&i=x%3D1-y%5E2,+y%3D1-x%5E2
Wofram-alpha da $4$ kök buldu ama o $4$. kökü "insan gözleriyle" nasıl görebiliriz?
Soruyu $x=1-y^2, y=1-x^2$indirgemissin galiba. Boyle ise $x-1+(1-x^2)^2=0$ gelecek Bunu da $x(x-1)$ parantezine alacaksin. geriye ikinci dereceden bir polinom kalacak.
Ayrica ya diger iki kok de reel ya da saf karmasik olur. Yani cevap ya 2 ya 4 olur. 3 nasil buldun?
Hocam o indirgediğim fonksiyonları aynen wolfram-alphadaki gibi parabolünü çizdim fakat o $0,1$ ve $1,0$ noktaları arasındaki 4. kökü farkedemedim haliyle.
Hocam sorunun cozumunu ogrenebilir miyim , indirgeme islemini nasil yaptiniz?
Yukarıdaki denklemi $x^4+y^2+1+2(x^2y-x^2-y)+y^4+x^2+1+2(xy^2-y^2-x)=0$ şeklinde yazdıktan sonra $(x^2+y-1)^2+(y^2+x-1)^2=0$ olduğunu görebilirsin. Şu an yazınca kolay gibi görünüyor olabilir ama bunu görmem yarım saatimi aldı :)
Anladim hocam tesekkurler :)
Sercan hocam çok sağolun anladım. O halde cevabı yazıyorum cevapsız görünmesin :) @mrveoz ne demek rica ederim :)
Denklemi $x^4+y+2+1+2(x^2y-x^2-y)+y^4+x^2+1+2(xy^2-y^2-x)=0$ şeklinde yazarsak $(x^2+y-1)^2+(y^2+x-1)^2=0$ olduğunu kolaylıkla görebiliriz. O halde $y=1-x^2$ ve $x=1-y^2$ olmalıdır. İkinci denklemde $x=1-(1-x^2)^2$ şeklinde yazarsak $x^4+2x^2+x=x(x-1)(x+\frac{1+\sqrt{5}}{2})(x+\frac{1-\sqrt{5}}{2})=0$ olacağından denklemi sağlayan $4$ farklı $(x,y)$ ikilisi vardır.