Kuresel paketleme sinirinin ispati

1 beğenilme 0 beğenilmeme
71 kez görüntülendi
$q$ bir asal kuvveti ve $\mathbb F_q$ bu asal kuvvete denk gelen sonlu cisim olsun. $C$ kumesi $\mathbb F_q^n$ icerisinde bir kod uzayi olsun. Bu uzay icerisindeki fakli elemanlar arasindaki Hamming mesafesinin en kucugune $d$ diyelim.


Gosteriniz: $|C|\leq \frac{q^n}{\sum\limits_{i=0}^\delta\big(\begin{matrix} n \\ i \end{matrix}\big)(q-1)^i}$ oyle ki $\delta=\lfloor (d-1)/2\rfloor$.

Bugun kodlama teorisi dersinde ogrencilerin cozmesi gereken sorulardan biri, burda da paylasayim dedim.

5, Şubat, 2016 Akademik Matematik kategorisinde Sercan (23,213 puan) tarafından  soruldu
8, Şubat, 2016 Sercan tarafından düzenlendi

Kuresel paketleme dediginiz "Sphere Packing" mi Sercan Hocam? Lattice teorisi kullanilan?

Link ya da referans var mi? Cok uygulanabilir oldugundan, kullanilir bence. Lattice/izgaradan secilen noktalari kod olarak dusunursek, buradaki kod uzayini da izgara olarak... olmali.

ingilizcesi dedigin gibi.

Matematik Koyu'nde Ozgur Kisisel anlatmisti. 4 boyutta 3 boyutlu cisimleri en yogun paketlemenin lattice paketleme oldugunu soyleyen bir teorem vardi. Sanirim hala kanitlanamamis ya da son zamanlarda kanitlanmisti. Sonra n boyuta genellemek vs.

Sphere packing problem diye aratinca cikmasi lazim

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$x=x_1x_2\cdots x_n$ olarak yazalim.

Buna uzakligi $1$ olamasi icin  girdilerin secim sayisi, yani bir girdisini degistirecegimiz girdilerin secim sayisi $C(n,1)$ olur. 
Buna uzakligi $2$ olmasi icin  girdilerin secim sayisi, yani bir girdisini degistirecegimiz girdilerin secim sayisi $C(n,2)$ olur.
$\vdots$
Buna uzakligi $i$ olmasi icin girdilerin secim sayisi, yani bir girdisini degistirecegimiz girdilerin secim sayisi $C(n,i)$ olur. 

Her girdi icin kendisinden farkli $q-1$ eleman oldugundan

Buna uzakligi $1$ olan  eleman sayisi, yani bir girdisini degistirecegimiz eleman sayisi $C(n,1)(q-1)$ olur. 
Buna uzakligi $2$ olan eleman sayisi, yani bir girdisini degistirecegimiz eleman sayisi $C(n,2)(q-1)^2$ olur. 
$\vdots$
Buna uzakligi $i$ olan eleman sayisi, yani bir girdisini degistirecegimiz eleman sayisi $C(n,i)(q-1)^i$ olur. 

Eger  minimum mesafe $d$ ise $\delta$ uzakligina kadar kendisi disinda hicbir eleman kod uzayinda olamaz. Yani her $\sum\limits_{i=0}^\delta C(n,i)(q-1)^i$ icin sadece bir eleman bu kod uzayinda olabilir.  Tum uzayimizda da $q^n$ eleman oldugundan bu siniri elde ederiz.

8, Şubat, 2016 Sercan (23,213 puan) tarafından  cevaplandı
...