x,y,z∈C olsun. Gostermek istedigimiz
d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z) oldugu.
Oncelikle, i≠j farkli olmak uzere, iinci basamaktaki sayi ile jinci basamaktaki sayinin arasinda bir iliski olmadigini, bunlarin birbirinden bagimsiz oldugunu gozlemleyelim.
Simdi, iki durumumuz var. Eger xi=yi ise bunun mesafeye bir etkisi olmuyor. Ama eger xi≠yi ise mesafe 1 artiyor.
Birinci durum: Eger xi=yi ise iki alt durum var:
- xi=yi=zi: Bu durumda i koordinatinin katkisi d(x,y),d(x,z),d(y,z) mesafelerinin hepsi icin sifir.
- xi=yi≠zi: Bu durumda da i koordinatinin katkisi d(x,y) mesafesi icin sifir iken, d(x,z) ve d(y,z) mesafeleri icin bir.
Iki durumda da i koordinatinin etkisi azalmiyor.
Ikinci durum: Eger xi≠yi ise uc alt durum var:
- xi≠yi=zi: Bu durumda i koordinatinin katkisi d(x,y) mesafesi icin bir, d(x,z) mesafesi icin bir, d(y,z) mesafesi icin ise sifir.
-
zi=xi≠yi: Bu durumda i koordinatinin katkisi d(x,y) mesafesi icin bir, d(x,z) mesafesi icin sifir, d(y,z) mesafesi icin bir.
-
xi≠zi ve yi≠zi: Bu son durumda ise i koordinatinin katkisi d(x,y),d(x,z),d(y,z) mesafelerinin hepsi icin bir.
Goruldugu gibi uc durumda da i koordinatinin etkisi azalmiyor.
Teker teker her koordinat icin, bu koordinatlarin katkilari azalmiyorsa; koordinatlarin katkisi bagimsiz oldugundan, bu katkilari topladigimizda toplam katki da azalmaz. Bu da ucgen esitligini kanitlamis olur.
Ayrica, bu mesafenin simetrik oldugu - yani d(x,y)=d(y,x) oldugu - bariz. Her x,y∈C icin d(x,y)≥0 ve d(x,x)=0 oldugu da ayni sekilde bariz.