Siparişlere sırasıyla S1,S2,S3,S4 diyelim. Bu siparişler dağıtılırken, hiçbirinin kendi siparişini almadığı durum sayısı, düzensiz permütasyon formülünden
P(4)=4!(1−1/1!+1/2!−1/3!+1/4!) den 9 olarak bulunur.
Şimdi üşenmeden tek tek yazalım.
n=1 için P(1)=0 dır.
n=2 için P(2)=1 olur. (S2,S1)
n=3 için P(3)=2 olur. (S2,S3,S1),(S3,S1,S2)
n=4 için P(4)=9 olarak hesapladık ama diyelim ki bu formülü bilmiyoruz. Bunu farklı bir şekilde hesaplayalım.
S1 in 1.sırada olduğu permütasyonları X1, S2 nin 2.sırada olduğu permütasyonlara f(X2), X3 ün 3.sırada olduğu permütasyonlara f(X3), X4 ün 4.sırada olduğu permütasyonlara f(X4) diyelim.
Ve bunların permütasyon sayılarını f(X1),f(X2)... şeklinde gösterelim.
f(X1) i kolayca hesaplarız. S1 sabit kalır. Diğerleri kendi aralarında 3! farklı şekilde sıralanır.
Buradan f(X1)=f(X2)=f(X3)=f(X4)=3! elde ederiz.
Aynı şekilde f(X1,X2) ifadesini hesaplamak için S1 ve S2 yi sabit tutarız. Geri kalanlar kendi aralarında 2! farklı şekilde sıralanır.
Buradan f(X1,X2)=f(X1,X3)=f(X2,X4)=.....=2! sonucu çıkar. Buradan C(4,2) tane ifade vardır.
Aynı şekilde f(X1,X2,X3)=......=1! C(4,3) tane.
f(X1,X2,X3,X4)=0!=1
Ve dahiliyet hariciyet prensibinden
P(4)=4!−4.3!+C(4,2).2!−C(4,3).1!+C(4,4).0!
P(4)=4!(1−1/1!+1/2!−1/3!+1/4!) elde edilir.
Senin soruna gelecek olursak
Bütün durumlar 4!=24
ve herkesin kendi siparişini aldığı 1 durum vardır. Halbuki 3 kişi kendi siparişini almaz, 4.kişi kendi siparişini alır. Bu tür durumlarda var