faktöryel

1 beğenilme 0 beğenilmeme
381 kez görüntülendi

$\mathbb{Q}_p$'den $\mathbb{Q}_p$'ye $f(x+1)=xf(x)$ şartını sağlayan sabit olmayan sürekli bir fonksiyon var mıdır?

27, Mart, 2015 Akademik Matematik kategorisinde Safak Ozden (3,384 puan) tarafından  soruldu

sabit olan var mi?

$f(x)=0$ sabit fonksiyonu.

o trival :)        

başka da sabit fonksiyon yoktur tabi.

Bu gamma fonksiyonunun bir ozelligi zaten. 

$p$-sel gamma?

Gamma fonksiyonu dediğiniz nedir?

Sorunuzu cevapladım ancak latex'de sorun var veya ben yapamadım. şu anda cevap okunabiliyor mu ?

Bu soru da erimis arada.

Bu sorunun yanıtı Ram Murty'nin Promblems in Analytic Number Theory kitabında var. İlgilenen varsa orada bulabilir.

Kitap cok iyiye benziyor. Guzelcene okuyabilirsem bi ara, bu soruya donus yaparim.

okuma, çöz. kitabın olayı o :)

Hazir cozulmus. Tecrubeyi tecrube etmemek lazim :)

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Gamma fonksiyonu matematiksel fiziğin özel fonksiyonlarından birisi olmakla beraber faktöriyel fonksiyonu olarak da bilinir çünkü bu fonksiyon $x$ sayısı kesirli bir sayı olduğunda $x!$ in genelleştirilmesinde kullanılır. Dolayısı ile kesirli sayıların faktoriyeli anlamlı olur. Gamma fonksiyonu:

$\Gamma(x)=\int_{0}^{\infty}t^{x-1} e^{-t} dt$      ,      $x \gt 0$

ile tanımlanır. Bu integral yakınsaktır ve x'in 0 dan büyük olması integralin yakınsaklığını garantilemek için gereklidir. 

Şimdi bahsettiğiniz fonksiyonel bağıntıyı çıkartalım.

$\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$

Kısmi integrasyon ile :

$\Gamma(x+1) = lim_{M\rightarrow \infty} \int_{0}^{M}t^{x} e^{-t}dt$

     $=lim_{M\rightarrow \infty}(-t^x e^{-t}/_{0}^{M}+x\int_{0}^{M}t^{x-1}e^{-t}dt)$     ,    $lim_{M\rightarrow \infty}(-t^x e^{-t})/_{0}^{M}=0$

     $=x lim_{M\rightarrow \infty}\int_{0}^{M}t^{x-1}e^{-t}dt=x\Gamma(x)$

$\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$

bulunur. Ek olarak (başlığın faktoriyel olmasından dolayı)

$0!=1$   olmak üzere   $n\geqslant0$   için

$\Gamma(n+1)=n!$     

yazabiliriz.

4, Nisan, 2015 erdem s. (18 puan) tarafından  cevaplandı
5, Nisan, 2015 erdem s. tarafından düzenlendi
Hocam ama bu $p$-sel degil, normal gamma fonksiyonu. $\mathbb Q_p$ uzerinde tanimli olani?

Soru başka bir şey soruyor. Daha açık biçimde ifade edeyim: $p$-sel sayılar üzerinden, karmaşık düzlemde tanımlı $\Gamma$ fonksiyonunun sağladığı $$xf(x)=f(x+1)$$ eşitliği sağlayan sürekli ve sabit olmayan bir fonksiyon var mı?

Hmm anladım. En azından gamma fonksiyonundan bahsetmiş olduk umarım faydalananlar olur.

...