Gamma fonksiyonu matematiksel fiziğin özel fonksiyonlarından birisi olmakla beraber faktöriyel fonksiyonu olarak da bilinir çünkü bu fonksiyon x sayısı kesirli bir sayı olduğunda x! in genelleştirilmesinde kullanılır. Dolayısı ile kesirli sayıların faktoriyeli anlamlı olur. Gamma fonksiyonu:
Γ(x)=∫∞0tx−1e−tdt , x>0
ile tanımlanır. Bu integral yakınsaktır ve x'in 0 dan büyük olması integralin yakınsaklığını garantilemek için gereklidir.
Şimdi bahsettiğiniz fonksiyonel bağıntıyı çıkartalım.
Γ(x+1)=xΓ(x)
Kısmi integrasyon ile :
Γ(x+1)=limM→∞∫M0txe−tdt
=limM→∞(−txe−t/M0+x∫M0tx−1e−tdt) , limM→∞(−txe−t)/M0=0
=xlimM→∞∫M0tx−1e−tdt=xΓ(x)
Γ(x+1)=xΓ(x)
bulunur. Ek olarak (başlığın faktoriyel olmasından dolayı)
0!=1 olmak üzere n⩾0 için
Γ(n+1)=n!
yazabiliriz.