Gamma fonksiyonu matematiksel fiziğin özel fonksiyonlarından birisi olmakla beraber faktöriyel fonksiyonu olarak da bilinir çünkü bu fonksiyon $x$ sayısı kesirli bir sayı olduğunda $x!$ in genelleştirilmesinde kullanılır. Dolayısı ile kesirli sayıların faktoriyeli anlamlı olur. Gamma fonksiyonu:
$\Gamma(x)=\int_{0}^{\infty}t^{x-1} e^{-t} dt$ , $x \gt 0$
ile tanımlanır. Bu integral yakınsaktır ve x'in 0 dan büyük olması integralin yakınsaklığını garantilemek için gereklidir.
Şimdi bahsettiğiniz fonksiyonel bağıntıyı çıkartalım.
$\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$
Kısmi integrasyon ile :
$\Gamma(x+1) = lim_{M\rightarrow \infty} \int_{0}^{M}t^{x} e^{-t}dt$
$=lim_{M\rightarrow \infty}(-t^x e^{-t}/_{0}^{M}+x\int_{0}^{M}t^{x-1}e^{-t}dt)$ , $lim_{M\rightarrow \infty}(-t^x e^{-t})/_{0}^{M}=0$
$=x lim_{M\rightarrow \infty}\int_{0}^{M}t^{x-1}e^{-t}dt=x\Gamma(x)$
$\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$
bulunur. Ek olarak (başlığın faktoriyel olmasından dolayı)
$0!=1$ olmak üzere $n\geqslant0$ için
$\Gamma(n+1)=n!$
yazabiliriz.